Exercícios de Progressão Aritmética (PA)
Questão 1. (Unitau)
Um triângulo retângulo tem seus lados c, b, e a em uma progressão aritmética crescente, então podemos dizer que sua razão r é igual a: a) 2c. b) c/3. c) a/4. d) b. e) a - 2b.Questão 2. (Unesp)
Um estacionamento cobra R$1,50 pela primeira hora. A partir da segunda, cujo valor é R$1,00 até a décima segunda, cujo valor é R$ 0.40, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local, quanto gastará seu proprietário? a) R$ 4,58 b) R$ 5,41 c) R$ 5,14 d) R$ 4,85 e) R$ 5,34Questão 3. (Mackenzie)
A sequência (2, a, b, ...... , p, 50) é uma progressão aritmética de razão r < 2/3, onde, entre 2 e 50, foram colocados k termos. Então o valor mínimo de k é: a) 64 b) 66 c) 68 d) 70 e) 72Questão 4. (Fuvest)
Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a, √(11- a). O quarto termo desta P.A. é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6Questão 5. (Fei)
Se a, 2a, a², b formam, nessa ordem, uma progressão aritmética estritamente crescente, então o valor de b é: a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12Questão 6 (PUC-RS)
Na sequência definida porQuestão 7
A soma dos 20 elementos iniciais da P.A. (-10,-6,-2,2,…) é: a) 660 b) 640 c) 600 d) 560 e) 540Questão 8
A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a a) 400 b) 410 c) 670 d) 780 e) 800Questão 9 (UFCE)
Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a a) 5100 b) 5200 c) 5300 d) 5400 e) 5500Questão 10 (PUC)
A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por S~n~=3n2+5n. a razão dessa PA é: a) 7 b) 6 c) 9 d) 8 e) 10Gabarito e Comentários - Exercícios Progressão Aritmética
1. BSolução Passo-a-Passo:Como o triângulo é retângulo, o maior lado é a hipotenusa, neste caso a, já que c, b e a estão em progressão aritmética crescente. Do Teorema de Pitágoras, temos que a² = b² - c². Sabemos também que r = a - b = b - c ⇒ a = b + b - c ⇒ a = 2b - c. Substituindo o valor de a no teorema anterior: (2b - c)² = b² + c² ⇒ 4b² - 4bc + c² = b² + c² ⇒ 4b² - b² -4bc = 3b² - 4bc = 0 ⇒ b.(3b - 4c) = 0 ⇒ ou b =0, o que é impossível já que b é lado de um triângulo, ou 3b - 4c = 0 ⇒ 3b = 4c ⇒ b = 4c/3. Portanto, r = b - c ⇒ r = 4c/3 - c ⇒ r = (4c - 3c)/3 ⇒ r = c/3.
2. CSolução Passo-a-Passo:Temos uma progressão aritmética de a1 = 1 e a11 = 0,40 e queremos saber o valor pago até a4 - já que nossa progressão começa na segunda hora, a quinta hora equivalerá ao a4. Sabendo que an = ap + (n - p).r: a11 = a1 + (11 - 1).r ⇒ 0,4 = 1 + 10r ⇒ 0,4 - 1 = 10r ⇒ -0,6 = 10r ⇒ r = -0,06. a4 = a1 + (4 - 1). (-0,06) ⇒ a4 = 1 - 3.o,06 ⇒ a4 = 1 - 0,18 ⇒ a4 = 0,82. a3 = a1 + (3 - 1). (-0,06) ⇒ a3 = 1 - 2.0,06 ⇒ a3 = 1 - 0,12 ⇒ a3 = 0,88. a2 = a1 + (2-1). (-0,06) ⇒ a2 = 1 - 0,06 ⇒ a2= 0, 94. Desta maneira o total pago por cinco horas é: 1,5 + 1 + 0,94 + 0,88 + 0,82 = R$5,14.
3. ESolução Passo-a-Passo:Trata-se de uma interpolação aritmética de k termos. Portanto, temos k + 2 termos no total. Sabemos que o termo k+2 - ésimo vale 50 e o a1 vale 2. Assim, an = ap + (n - p).r ⇒ a(k+2) = a1 + (k+2 - 1). r ⇒ 50 = 2 + (k+1).r ⇒ 50 - 2 = (k+1).r ⇒ 48 = (k+1).r ⇒ 48/(k+1) = r. Mas sabemos que r < 2/3, então, 48/(k+1) < 2/3 ⇒ 48.3 < 2.(k+1) ⇒ 144 < 2.(k+1) ⇒ 144/2 < k + 1 ⇒ 72 < k + 1 ⇒ 72 - 1 < k ⇒ k > 71. Como k é um número natural - pois exprime uma quantidade - o valor mínimo de k é 72.
4. BSolução Passo-a-Passo:r = -a - (1 - a) = -a -1 + a ⇒ r = -1. √(11- a) - (-a) = -a - (1-a) ⇒ √(11- a) + a = -a - 1 + a ⇒ √(11- a) + a = -1 ⇒ √(11- a) = -1 - a⇒ [√(11- a)]² = (-1-a)² ⇒ 11 - a = 1 + 2a + a² ⇒ 0 = a² + 2a + a + 1 -11 ⇒ a² + 3a - 10 = 0. Por produto de Steve, temos dois números cuja a soma vale 3 e o produto -10, eles são -2 e 5, assim, (a - 2). (a + 5) = 0, a = 2 ou a = -5. Como -a é um número positivo, a é um número negativo e por isso, a = -5. Enfim, a4 = a2 + (4-2).(-1) ⇒ a4 = -a -2 ⇒ a4 = -(-5) -2 = 5 - 2 ⇒a4 = 3.
5. ESolução Passo-a-Passo:
a² - 2a = 2a - a ⇒ a² -2a - a = 0 ⇒ a² - 3a = 0 ⇒ a.(a-3) = 0 ⇒ ou a =0, o que não é possível já que a p.a. é estritamente crescente, ou a - 3 = 0 ⇒ a =3. r = 2a - a = a ⇒ r = 3. b = a² + r ⇒ b = 3² + 3 ⇒ b = 9 + 3 ⇒ b = 12.
6. B Solução Passo-a-Passo: Usando a fórmula da soma da Progressão Aritmética:








