Questões Comentadas: Progressão Aritmética

A progressão aritmética, também conhecida como PA, é um conceito fundamental na matemática, desempenhando um papel crucial na resolução de problemas e na análise de padrões numéricos. Confira uma lista de exercícios de progressão aritmética para que você possa aprimorar sua compreensão e habilidades práticas nesse tópico essencial.

Exercícios de Progressão Aritmética (PA)

Questão 1. (Unitau)

Um triângulo retângulo tem seus lados c, b, e a em uma progressão aritmética crescente, então podemos dizer que sua razão r é igual a: a) 2c. b) c/3. c) a/4. d) b. e) a - 2b.

Questão 2. (Unesp)

Um estacionamento cobra R$1,50 pela primeira hora. A partir da segunda, cujo valor é R$1,00 até a décima segunda, cujo valor é R$ 0.40, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local, quanto gastará seu proprietário? a) R$ 4,58 b) R$ 5,41 c) R$ 5,14 d) R$ 4,85 e) R$ 5,34

Questão 3. (Mackenzie)

A sequência (2, a, b, ...... , p, 50) é uma progressão aritmética de razão r < 2/3, onde, entre 2 e 50, foram colocados k termos. Então o valor mínimo de k é: a) 64 b) 66 c) 68 d) 70 e) 72

Questão 4. (Fuvest)

Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a, √(11- a). O quarto termo desta P.A. é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Questão 5. (Fei)

Se a, 2a, a², b formam, nessa ordem, uma progressão aritmética estritamente crescente, então o valor de b é: a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

Questão 6 (PUC-RS)

Na sequência definida por  , a soma dos 10 primeiros termos é igual a: a) 53/2 b) 265/2 d) 53 d) 265 e) 53

Questão 7

A soma dos 20 elementos iniciais da P.A. (-10,-6,-2,2,…) é: a) 660 b) 640 c) 600 d) 560 e) 540

Questão 8

A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a a) 400 b) 410 c) 670 d) 780 e) 800

Questão 9 (UFCE)

Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a a) 5100 b) 5200 c) 5300 d) 5400 e) 5500

Questão 10 (PUC)

A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por S~n~=3n2+5n. a razão dessa PA é: a) 7 b) 6 c) 9 d) 8 e) 10

Gabarito e Comentários - Exercícios Progressão Aritmética

1. BSolução Passo-a-Passo:

Como o triângulo é retângulo, o maior lado é a hipotenusa, neste caso a, já que c, b e a estão em progressão aritmética crescente. Do Teorema de Pitágoras, temos que a² = b² - c². Sabemos também que r = a - b = b - c ⇒ a = b + b - c ⇒ a = 2b - c. Substituindo o valor de a no teorema anterior: (2b - c)² = b² + c² ⇒ 4b² - 4bc + c² = b² + c² ⇒ 4b² - b² -4bc = 3b² - 4bc = 0 ⇒ b.(3b - 4c) = 0 ⇒ ou b =0, o que é impossível já que b é lado de um triângulo, ou 3b - 4c = 0 ⇒ 3b = 4c ⇒ b = 4c/3. Portanto, r = b - c ⇒ r = 4c/3 - c ⇒ r = (4c - 3c)/3 ⇒ r = c/3.

2. CSolução Passo-a-Passo:

Temos uma progressão aritmética de a1 = 1 e a11 = 0,40 e queremos saber o valor pago até a4 - já que nossa progressão começa na segunda hora, a quinta hora equivalerá ao a4. Sabendo que an = ap + (n - p).r: a11 = a1 + (11 - 1).r ⇒ 0,4 = 1 + 10r ⇒ 0,4 - 1 = 10r ⇒ -0,6 = 10r ⇒ r = -0,06. a4 = a1 + (4 - 1). (-0,06) ⇒ a4 = 1 - 3.o,06 ⇒ a4 = 1 - 0,18 ⇒ a4 = 0,82. a3 = a1 + (3 - 1). (-0,06) ⇒ a3 = 1 - 2.0,06 ⇒ a3 = 1 - 0,12 ⇒ a3 = 0,88. a2 = a1 + (2-1). (-0,06) ⇒ a2 = 1 - 0,06 ⇒ a2= 0, 94. Desta maneira o total pago por cinco horas é: 1,5 + 1 + 0,94 + 0,88 + 0,82 = R$5,14.

3. ESolução Passo-a-Passo: 

Trata-se de uma interpolação aritmética de k termos. Portanto, temos k + 2 termos no total. Sabemos que o termo k+2 - ésimo vale 50 e o a1 vale 2. Assim, an = ap + (n - p).r ⇒ a(k+2) = a1 + (k+2 - 1). r ⇒ 50 = 2 + (k+1).r ⇒ 50 - 2 = (k+1).r ⇒ 48 = (k+1).r ⇒ 48/(k+1) = r. Mas sabemos que r < 2/3, então, 48/(k+1) < 2/3 ⇒ 48.3 < 2.(k+1) ⇒ 144 < 2.(k+1) ⇒ 144/2 < k + 1 ⇒ 72 < k + 1 ⇒ 72 - 1 < k ⇒ k > 71. Como k é um número natural - pois exprime uma quantidade - o valor mínimo de k é 72.

4. BSolução Passo-a-Passo:

r = -a - (1 - a) = -a -1 + a ⇒ r = -1. √(11- a) - (-a) = -a - (1-a) ⇒ √(11- a) + a = -a - 1 + a ⇒ √(11- a) + a = -1 ⇒ √(11- a) = -1 - a⇒ [√(11- a)]² = (-1-a)² ⇒ 11 - a = 1 + 2a + a² ⇒ 0 = a² + 2a + a + 1 -11 ⇒ a² + 3a - 10 = 0.  Por produto de Steve, temos dois números cuja a soma vale 3 e o produto -10, eles são -2 e 5, assim, (a - 2). (a + 5) = 0, a = 2 ou a = -5. Como -a é um número positivo, a é um número negativo e por isso, a = -5. Enfim, a4 = a2 + (4-2).(-1) ⇒ a4 = -a -2 ⇒ a4 = -(-5) -2 = 5 - 2 ⇒a4 = 3.

5. E

Solução Passo-a-Passo:

a² - 2a = 2a - a ⇒ a² -2a - a = 0 ⇒ a² - 3a = 0 ⇒ a.(a-3) = 0 ⇒ ou a =0, o que não é possível já que a p.a. é estritamente crescente, ou a - 3 = 0 ⇒ a =3. r = 2a - a = a ⇒ r = 3. b = a² + r ⇒ b = 3² + 3 ⇒ b = 9 + 3 ⇒ b = 12.

6. B Solução Passo-a-Passo: Usando a fórmula da soma da Progressão Aritmética: Soma de N números de uma PA Temos então que achar quem é a0 e an. Agora aplicando à fórmula: 7. D Solução Passo-a-Passo: Primeiro devemos nos preocupar em achar o vigésimo termo desta Progressão Aritmética: agora que sabemos quem é o último termo, podemos utilizar a fórmula da soma: 8. D Solução Passo-a-Passo: Lembrando que o conjunto dos números naturais começa pelo 0, seu quadragésimo termo será então o 39. Agora podemos usar a fórmula: Soma de N números de uma PA9. B Solução Passo-a-Passo: Sabemos que: S11=35200 r=400 e podemos escrever: an=a1+(n-1)_ra11=a1+10_ra11=a1+4000 Agora iremos aplicar isto à nossa equação da soma de termos da Progressão Aritmética: Soma de N números de uma PA Agora que sabemos quem é o primeiro termo, podemos descobrir quem é o décimo primeiro: 10. B Solução Passo-a-Passo: Sn=3n2+5n esta é a equação da soma dos termos desta Progressão Aritmética: Se eu quiser saber a soma do primeiro termo, basta que eu diga que n=1. Porém é importante entender que a soma do primeiro termo é exatamente o primeiro termo desta Progressão Aritmética! Logo S1=3 12+5 1 = 8 a1 = 8 Pelo mesmo raciocínio eu posso procurar a soma dos dois primeiros termos: S2=3 22+5 2 = 22 É importante que você repare que este resultado é a1+a2 = S2 Então a1+a2=22 8+a2=22 a2=22-8 a2=14 A razão é a diferença entre os termos 2 e 1: 14-8 = 6 Assista também a aula de revisão sobre Progressão Aritmética Gostou da nossa lista de exercícios sobre PA? Aproveite para treinar mais com questões sobre o tema na nossa plataforma Dex Descomplica. Lá você encontra diversas questões e pode buscar por assuntos específicos. Ah, e se você vai fazer o Enem, acompanhe o Gabarito do Enem 2024, que a gente divulga logo depois da prova!