A probabilidade é a área da matemática que estuda a chance de um determinado evento ocorrer. O tema, presente no cotidiano das pessoas, é bastante cobrado em questões de vestibular e do Enem (Exame Nacional do Ensino Médio).
O que você precisa saber sobre probabilidade Enem?
De maneira geral, as questões que envolvem probabilidade Enem precisam ser interpretadas com cautela e atenção. Isso porque, na maioria dos casos, os enunciados dos exercícios trazem informações essenciais para a solução do problema.
A probabilidade, sobretudo em questões do Enem, costuma estar relacionada a outros assuntos das ciências exatas, tais como:
- Razão e proporção;
- Análise combinatória;
- Números decimais;
- Porcentagem;
- Fração.
Aproveite para conferir o mapa mental de probabilidade
Exercícios de probabilidade
Questão 1. (Fuvest)
Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas ao acaso, sucessivamente, sem reposição. Determine:
A) A probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca.
B) A probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendo-se que as três bolas não são da mesma cor.
Questão 2. (Enem)
Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
A) 1/2
B) 5/8
C) 1/4
D) 5/6
E) 5/14
Questão 3. (Enem)
Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações distintas podem acontecer nesse contexto de teste:
1) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO.
2) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO.
3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO.
4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO.
Um índice de desempenho para avaliação de um teste de diagnóstico é a sensibilidade, definida como a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com a doença.
O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, aplicado em uma amostra composta por duzentos indivíduos.
Conforme o quadro teste proposto, a sensibilidade dele é de:
A) 47,5%.
B) 85,0%.
C) 86,3%.
D) 94,4%.
E) 95,0%.
Questão 4. (Enem)
O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido, por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.
As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:
A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
Questão de Lançamento de moedas
Em toda prova de vestibular que o universo já teve, pelo menos uma vez, caiu uma questão sobre probabilidade envolvendo moedas e os resultados serem cara ou coroa.
No lançamento de uma moeda, você tem duas chances de resultado, ser cara ou coroa, e a probabilidade de cair uma das duas é sempre ½.
Lembrando que probabilidade é dada por:
Por exemplo, se quisermos encontrar a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas no lançamento de 4 moedas não viciadas, temos:
A probabilidade de sair cara num lançamento é 1/2 e a probabilidade de sair coroa também é 1/2. Então, a probabilidade de sair 2 caras e depois duas coroas é:
(1/2).(1/2).(1/2).(1/2) = 1/16
Porém, essa é apenas uma ordem, podemos ter, também, outras ordem possíveis. Essas ordens são as permutações desses 4 casos entre si, assim:
P42,2 = 4!/2!.2!
P42,2 = 4.3!/2.2
P42,2 = 3!
P42,2 = 6 permutações
(CaCaCoCo, CaCoCaCo, CaCoCoCa, CoCaCaCo, CoCaCoCa, CoCoCaCa)
Para cada uma dessas ordens distintas, há 1/16 de chance de duas caras e duas coroas.
Como a probabilidade são os casos favoráveis sobre os possíveis, temos:
P= 6.(1/16)
P= 6/16
P= 3/8
P= 0,375
P= 37,5%
Veja também a nossa lista com exercícios de Probabilidade condicional
Questão de Lançamento de Dados
Outro evento muito cobrado em probabilidade é o lançamento de dados. Sempre temos algum caso de lançamentos de dados não viciados e queremos algum tipo de probabilidade.
Lembrando que, sempre, em um lançamento de um dado de 6 lados, a probabilidade de sair alguma face é de 1/6.
Por exemplo:
Se no lançamento de um dado quisermos retirar o número 3 ou 5, temos:
Nesse caso, temos que a probabilidade de cada um desses números saírem, isoladamente, é de 1/6 cada. Caso tenhamos um 3, não sairá um 5 e caso tenhamos um 5, não sairá o 3.
Podemos analisar então que sairá o 3 ou o 5, assim teremos a união dessas probabilidades pois pode ser uma ou a outra, logo devemos considerar as duas. Assim:
P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Importante (!): Perceba que o conectivo OU, em probabilidade, não é excludente, mas sim, usado para somar as probabilidades!
Sorteio de bolas de cores diferentes
Típicas questões de probabilidade são aquelas que usam bolas de cores diferentes e alguém vai retirá-las ao acaso. Esse tipo de questão é muito cobrada, na UERJ, por exemplo, e eu já perdi a conta de quantas já caíram. Geralmente nesses casos, a questão quer descobrir o número mínimo de vezes que eu tenho que tentar até tirar uma certa quantidade de bolas de mesma cor, ou as chances de tirar uma de uma cor e outra de outra cor.
Veja essa questão, por exemplo:
(UERJ) Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso. Observe a ilustração:
a) Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a:
(A) 5
(B) 13
(C) 31
(D) 40
Solução:
Inserindo 10 moedas e supondo que todas são de cores diferentes, garantimos que a 11ª bola será de cor igual a uma das anteriores. Supondo que esse procedimento se repita, isto é, saem sempre 10 bolas de cores diferentes, é certo que após 30 bolas há 3 de cada uma das 10 cores. Logo, a 31ª moeda expelirá uma bola com uma das cores anteriores, garantindo assim 4 bolas de uma mesma cor.
OBS: É claro que pode ocorrer essa situação antes das 31 retiradas. Mas, isso não é garantido!
b) Inserindo-se 3 moedas, uma de cada vez, a probabilidade de que a máquina libere 3 bolas, sendo apenas duas delas brancas, é aproximadamente de:
(A) 0,008 (B) 0,025 (C) 0,040 (D) 0,072
Solução 1:
Há 10 bolas brancas (B) e 90 de cores diferentes da branca (D):
P(BBD) + P(BDB) + P(DBB) = 
Gabarito
- A
Resolução da questão 1
A) P = bola preta e B = bola branca
Pode-se escolher 3 bolas ao acaso de 8.7.6 = 336 maneiras diferentes.
As ordens das bolas brancas e pretas podem ser feitas das seguintes formas: BPP, PPB e PBP = P23
3.2.5=30
90/336=15/56
B) Podem ser 2 bolas brancas e 1 preta (I) ou 2 pretas e 1 branca (II)
P(II) sabendo que as bolas não são de mesma cor é:
2. A
Resolução da questão 2
Há 1200 alunos na escola e 300 deles não falam línguas estrangeiras. Por isso, é possível inferir que 900 estudantes falam essas línguas.
Ao somar a quantidade de alunos que falam inglês (600) com os que falam espanhol (500), há um total de 1.100. Então, ao calcular a diferença desse total com a quantidade que fala língua estrangeira, isto é, 1.100 – 900, obtém-se 200. Essa é a quantidade de alunos que falam as duas línguas mencionadas.
Dessa forma, de 600 alunos, apenas 400 falam somente inglês, e de 500 alunos, apenas 300 falam somente espanhol.
Conforme apontado no exercício, é necessário selecionar um aluno que não fala inglês e, por isso, o espaço amostral será composto por aqueles que falam apenas espanhol ou que não falam nenhuma língua, logo, n(Ω) = 600.
O número de casos favoráveis é a quantidade de alunos que falam apenas espanhol, então n(E) = 300. Assim, este será o cálculo da probabilidade:
p(E) = n(E)
n(Ω)
p(E) = 300/600
p(E) = 3/6
p(E) = 1/2
3. E
Gabarito:
A sensibilidade é definida como a probabilidade de o resultado ser positivo se o paciente estiver com a doença. Assim, é possível inferir que a sensibilidade é igual ao resultado positivo dividido pelo número de pessoas com a doença.
Por isso, é necessário observar a coluna “presente” na tabela, que mostra as pessoas que têm a doença. Neste caso, 100 pessoas possuem a enfermidade e 95 é o número de resultados positivos.
Dessa forma, o cálculo se dá:
Sensibilidade = 95 ÷ 100 = 0,95
Sensibilidade = 0,95 x 100% = 95%
4. A
Resolução da questão 4
Neste exercício, o primeiro passo é determinar o número total de possibilidades por meio do princípio multiplicativo:
6 x 5 x 9 = 270
Na sequência, é necessário realizar uma interpretação do resultado obtido no princípio multiplicativo.
Se cada aluno deve ter uma resposta e foram selecionados 280 alunos, entende-se que o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 10 alunos a mais do que a quantidade de respostas possíveis.
Resposta correta: A
Assista também o vídeo do nosso canal sobre probabilidade
Gostou da nossa lista de exercícios de probabilidade? Aproveite para fazer questões antigas de provas do Enem e melhore sua preparação!
Conheça o nosso cursinho preparatório para o Enem e continue estudando com a ajuda de nossos professores.
