Análise Combinatória: Princípios Básicos

A Análise Combinatória é o ramo mais humano da matemática, mais racional e prazeroso de ser estudado. Usamos a Combinatória ao escolhermos determinada roupa para sair, determinada matéria para fazer, determinado caminho para seguir, etc.

Ela visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, tais que satisfazem condições específicas. Costumo dizer que a vida é uma tomada de decisões, nada mais que uma grande e complexa análise combinatória. E isso é mais uma prova de que a Matemática está em todos e em tudo, de que somos feitos dela e que não há vida onde ela não esteja!

Análise Combinatória.

Exemplos

1. A é o conjunto de números primos menores que 14.
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13} e #A = 6.
[Lembrando que #X é a cardinalidade de X, a quantidade de elementos do cunjunto X.]

2. B é o conjunto das sequências de letras que se obtêm, mudando a ordem das letras da palavra BAR (anagramas de BAR).
B = {BAR, BRA, ABR, ARB, RAB, RBA} e #B = 6.

3. C é o conjunto de possibilidades que Mônica tem de combinar três vestidinhos V1, V2 e V3 e dois sapatos S1 e S2.
C = {V1S1, V1S2, V2S1, V2S2, V3S1, V3S2} e #C = 6.

Exemplos de Conjuntos.

Princípio Fundamental da Contagem – PFC

Podemos dividir este conceito em duas partes. Dados r conjuntos:
A = {a1, a2, a3, …, an1}, #A = n1
B = {b1, b2, b3, …, bn2}, #B = n2
…
Z = {z1, z2, z3, …, znr}, #Z = nr
A primeira consiste em determinar o número de sequências de r elementos do tipo em que a1 ∈ A, b1 ∈ B, c1 ∈ C, …, z1 ∈ Z, este número é dado por n1.n2.n3…..nr.
A segunda consiste em, dado um conjunto A com m elementos, tal que m ≥ 2, isto é, A = {a1, a2, a3, …, am}, encontrar o número de sequências de r elementos formada com elementos distintos dois a dois de A, este número é m.(m-1).(m-2)…..[m – (r-1)]

Exemplo: Princípio Fundamental da Contagem.

⇒Exemplo: Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1°, 2° e 3° lugares?
Temos três escolhas, a do 1° colocado, a do 2° colocado e a do 3° colocado. Para o 1° temos 4 opções, qualquer competidor pode ganhar; para o 2° podemos escolher qualquer atleta menos o que ficou em 1° lugar, então temos 3 escolhas; para o 3° podemos escolher qualquer um que já não esteja no pódio, logo, temos 2 escolhas. Por conseguinte, temos 4.3.2 = 24 resultados possíveis para o pódio.

Consideração e Consequências do PFC

Algumas vezes o número de elementos das sequências consideradas é diferente, o que impede o uso do princípio fundamental da contagem. Entretanto, usando o diagrama da árvore, podemos saber facilmente quantas são as sequências.

Exemplo, “uma pessoa lança uma moeda sucessivamente até que ocorram duas caras consecutivas, ou quatro lançamentos sejam feitos, o que primeiro ocorrer. Quais as sequências de resultados possíveis?”

Árvore de Possibilidades.

Os resultados possíveis são (K,K); (K, C, K, K); (K, C, K, C); (K, C, C, K); (K, C, C, C); (C, K, K); (C, K, C, K); (C, K, C, C); (C, C, K, K); (C, C, K, C); (C, C, C, K); (C, C, C, C); e o número de sequências é 12.

“O PFC nos fornece o instrumento básico para a Análise Combinatória; entretanto, sua aplicação direta na resolução de problemas pode às vezes tornar-se trabalhosa. Iremos então definir os vários modos de formar agrupamentos e, usando símbolos simplificativos, deduzir fórmulas que permitam a contagem dos mesmos, em cada caso particular.”

Observação

Antes de começarmos as definições e fórmulas de arranjos, permutações e combinações, vale lembrar que a Análise Combinatória é feita muito mais de lógica do que de regra. Então, muito mais do que decorar fórmulas, precisamos e devemos saber pensar.

Arranjos com Repetição

Sendo M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a1, a2, a3, …, am}. Denominamos Arranjo com Repetição dos m elementos, tomados r a r, toda sequência de tamanho r formada com elementos de M não necessariamente distintos.
Pela primeira parte do PFC, o número de arranjos com repetição será dado por (AR)m,r = m.m.m….m (r vezes), logo, (AR)m,r = m^r.

Arranjos

Sendo M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a1, a2, a3, …, am}. Denominamos Arranjo com Repetição dos m elementos, tomados r a r, com 1 ≤ r ≤ m, toda sequência de tamanho r formada com elementos de M, todos distintos.

Pela segunda parte do PFC, o número de arranjos será dado por Am,r = m.(m-1).(m-2)…..[m-(r-1)] (r fatores).

Fontes de Pesquisa:

Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 5; Hazzan, Samuel.
Sétima Edição – São Paulo: Atual, 2004.

Exercícios

1. (PUC-RJ) A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres alfabéticos ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente alfabético. O número de senhas possíveis será então:

a) 36^4.

b) 10.36³.

c) 26.36³.

d) 26^4.

e) 10.26^4.