Blog Descomplica

Análise Combinatória: Princípios Básicos

O resumo sobre Análise Combinatória que vai salvar a sua prova da escola ou do vestibular está te esperando bem aqui.
porDescomplica| 14/07/2016

Compartilhe

A Análise Combinatória é o ramo mais humano da matemática, mais racional e prazeroso de ser estudado. Usamos a Combinatória ao escolhermos determinada roupa para sair, determinada matéria para fazer,  determinado caminho para seguir, etc.

Ela visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, tais que satisfazem condições específicas. Costumo dizer que a vida é uma tomada de decisões, nada mais que uma grande e complexa análise combinatória. E isso é mais uma prova de que a Matemática está em todos e em tudo, de que somos feitos dela e que não há vida onde ela não esteja!

comb0

Análise Combinatória.

Exemplos

1. A é o conjunto de números primos menores que 14.
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13} e #A = 6.
[Lembrando que #X é a cardinalidade de X, a quantidade de elementos do cunjunto X.]

2. B é o conjunto das sequências de letras que se obtêm, mudando a ordem das letras da palavra BAR (anagramas de BAR).
B = {BAR, BRA, ABR, ARB, RAB, RBA} e #B = 6.

3. C é o conjunto de possibilidades que Mônica tem de combinar três vestidinhos V1, V2 e V3 e dois sapatos S1 e S2.
C = {V1S1, V1S2, V2S1, V2S2, V3S1, V3S2} e #C = 6.

comb1

Exemplos de Conjuntos.

Princípio Fundamental da Contagem – PFC

     Podemos dividir este conceito em duas partes. Dados r conjuntos:
A = {a1, a2, a3, …, an1}, #A = n1
B = {b1, b2, b3, …, bn2}, #B = n2

Z = {z1, z2, z3, …, znr}, #Z = nr
A primeira consiste em determinar o número de sequências de r elementos do tipo em que a1 ∈ A, b1 ∈ B, c1 ∈ C, …, z1 ∈ Z, este número é dado por n1.n2.n3…..nr.
A segunda consiste em, dado um conjunto A com m elementos, tal que m ≥ 2, isto é, A = {a1, a2, a3, …, am}, encontrar o número de sequências de r elementos formada com elementos distintos dois a dois de A, este número é m.(m-1).(m-2)…..[m – (r-1)]

comb2

Exemplo: Princípio Fundamental da Contagem.

⇒Exemplo: Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1°, 2° e 3° lugares?
Temos três escolhas, a do 1° colocado, a do 2° colocado e a do 3° colocado. Para o 1° temos 4 opções, qualquer competidor pode ganhar; para o 2° podemos escolher qualquer atleta menos o que ficou em 1° lugar, então temos 3 escolhas; para o 3° podemos escolher qualquer um que já não esteja no pódio, logo, temos 2 escolhas. Por conseguinte, temos 4.3.2 = 24 resultados possíveis para o pódio.

Consideração e Consequências do PFC

     Algumas vezes o número de elementos das sequências consideradas é diferente, o que impede o uso do princípio fundamental da contagem. Entretanto, usando o diagrama da árvore, podemos saber facilmente quantas são as sequências.

      Exemplo, “uma pessoa lança uma moeda sucessivamente até que ocorram duas caras consecutivas, ou quatro lançamentos sejam feitos, o que primeiro ocorrer. Quais as sequências de resultados possíveis?”

comb3

Árvore de Possibilidades.

Os resultados possíveis são (K,K); (K, C, K, K); (K, C, K, C); (K, C, C, K); (K, C, C, C); (C, K, K); (C, K, C, K); (C, K, C, C); (C, C, K, K); (C, C, K, C); (C, C, C, K); (C, C, C, C); e o número de sequências é 12.

“O PFC nos fornece o instrumento básico para a Análise Combinatória; entretanto, sua aplicação direta na resolução de problemas pode às vezes tornar-se trabalhosa. Iremos então definir os vários modos de formar agrupamentos e, usando símbolos simplificativos, deduzir fórmulas que permitam a contagem dos mesmos, em cada caso particular.”

Observação

Antes de começarmos as definições e fórmulas de arranjos, permutações e combinações, vale lembrar que a Análise Combinatória é feita muito mais de lógica do que de regra. Então, muito mais do que decorar fórmulas, precisamos e devemos saber pensar.

Arranjos com Repetição

Sendo M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a1, a2, a3, …, am}. Denominamos Arranjo com Repetição dos m elementos, tomados r a r, toda sequência de tamanho r formada com elementos de M não necessariamente distintos.
Pela primeira parte do PFC, o número de arranjos com repetição será dado por (AR)m,r = m.m.m….m (r vezes), logo, (AR)m,r = mr.

Arranjos

Sendo M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a1, a2, a3, …, am}. Denominamos Arranjo com Repetição dos m elementos, tomados r a r, com 1 ≤ r ≤ m, toda sequência de tamanho r formada com elementos de M, todos distintos.

Pela segunda parte do PFC, o número de arranjos será dado por Am,r = m.(m-1).(m-2)…..[m-(r-1)] (r fatores).

Fontes de Pesquisa: 

Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 5; Hazzan, Samuel.
Sétima Edição – São Paulo: Atual, 2004.

Exercícios

1. (PUC-RJ) A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres alfabéticos ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente alfabético. O número de senhas possíveis será então:

a) 364.

b) 10.36³.

c) 26.36³.

d) 264.

e) 10.264.

VEJA COMO RESOLVER PASSO-A-PASSO ESTA QUESTÃO!

2. (Faap – Sp) Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos?

a) 25000.

b) 120.

c) 120000.

d) 18000.

e) 32000.

VEJA COMO RESOLVER PASSO-A-PASSO ESTA QUESTÃO!

GABARITO

1. C

2. D

Comentários

Livia Maria
Livia Maria
20/07/2015 às 14:32

Ótimo resumo!! Adorei

ícone de atenção ao erroícone de atenção ao erroícone de atenção ao erro

Livia Maria
Livia Maria
20/07/2015 às 14:32

Ótimo resumo!! Adorei

ícone de atenção ao erroícone de atenção ao erroícone de atenção ao erro

ícone de atenção ao erroícone de atenção ao erroícone de atenção ao erro
Quer receber novidades em primeira mão?
Prontinho! Você receberá novidades na sua caixa de entrada.

Veja também

Separamos alguns conteúdos pra você

logo descomplica