Análise Combinatória
A Análise Combinatória é o ramo mais humano da matemática, mais racional e prazeroso de ser estudado. Usamos a Combinatória ao escolhermos determinada roupa para sair, determinada matéria para fazer, determinado caminho para seguir, etc.
Ela visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, tais que satisfazem condições específicas. Costumo dizer que a vida é uma tomada de decisões, nada mais que uma grande e complexa análise combinatória. E isso é mais uma prova de que a Matemática está em todos e em tudo, de que somos feitos dela e que não há vida onde ela não esteja!
Exemplos de uso de análise combinatória
1. A é o conjunto de números primos menores que 14. A = {2, 3, 5, 7, 11, 13} e #A = 6. [Lembrando que #X é a cardinalidade de X, a quantidade de elementos do cunjunto X.] 2. B é o conjunto das sequências de letras que se obtêm, mudando a ordem das letras da palavra BAR (anagramas de BAR). B = {BAR, BRA, ABR, ARB, RAB, RBA} e #B = 6. 3. C é o conjunto de possibilidades que Mônica tem de combinar três vestidinhos V1, V2 e V3 e dois sapatos S1 e S2. C = {V1S1, V1S2, V2S1, V2S2, V3S1, V3S2} e #C = 6.Princípio Fundamental da Contagem - PFC
Também chamado de princípio multiplicativo, no princípio fundamental da contagem, nós multiplicamos um número entre as escolhas que são apresentadas. Dessa forma, para descobrir quantas opções temos para combinar as nossas escolhas, podemos multiplicar os números a fim de encontrar os resultados. Um exemplo é o caso de uma lanchonete. Vamos supor que o estabelecimento vende um combo de sanduíche, bebida e sobremesa. Existem três tipos de sanduíche, dois tipos de bebida e quatro tipos de sobremesa. Quantas opções de combinação de combo a gente tem? A resposta é simples. Basta multiplicar: 3.2.4 = 24. Confira a visualização de outra forma abaixo: Possibilidades de sanduíches = 3 Possibilidades de bebidas = 2 Possibilidades de sobremesas = 4 Ou seja = 3.2.4 = 24 opções lanche. Isso significa que o resultado de combinações é o produto entre o número de opções de sanduíche, bebida e sobremesa.Outro exemplo de Princípio fundamental da contagem
Podemos dividir este conceito em duas partes. Dados r conjuntos: A = {a1, a2, a3, ..., an1}, #A = n1 B = {b1, b2, b3, ..., bn2}, #B = n2 ... Z = {z1, z2, z3, ..., znr}, #Z = nr A primeira consiste em determinar o número de sequências de r elementos do tipo em que a1 ∈ A, b1 ∈ B, c1 ∈ C, ..., z1 ∈ Z, este número é dado por n1.n2.n3.....nr. A segunda consiste em, dado um conjunto A com m elementos, tal que m ≥ 2, isto é, A = {a1, a2, a3, ..., am}, encontrar o número de sequências de r elementos formada com elementos distintos dois a dois de A, este número é m.(m-1).(m-2).....[m - (r-1)]
⇒Exemplo: Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1°, 2° e 3° lugares? Temos três escolhas, a do 1° colocado, a do 2° colocado e a do 3° colocado. Para o 1° temos 4 opções, qualquer competidor pode ganhar; para o 2° podemos escolher qualquer atleta menos o que ficou em 1° lugar, então temos 3 escolhas; para o 3° podemos escolher qualquer um que já não esteja no pódio, logo, temos 2 escolhas. Por conseguinte, temos 4.3.2 = 24 resultados possíveis para o pódio.
Consideração e Consequências do PFC
Algumas vezes o número de elementos das sequências consideradas é diferente, o que impede o uso do princípio fundamental da contagem. Entretanto, usando o diagrama da árvore, podemos saber facilmente quantas são as sequências.
Exemplo, "uma pessoa lança uma moeda sucessivamente até que ocorram duas caras consecutivas, ou quatro lançamentos sejam feitos, o que primeiro ocorrer. Quais as sequências de resultados possíveis?"
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Árvore de Possibilidades.[/caption]
Os resultados possíveis são (K,K); (K, C, K, K); (K, C, K, C); (K, C, C, K); (K, C, C, C); (C, K, K); (C, K, C, K); (C, K, C, C); (C, C, K, K); (C, C, K, C); (C, C, C, K); (C, C, C, C); e o número de sequências é 12.
"O PFC nos fornece o instrumento básico para a Análise Combinatória; entretanto, sua aplicação direta na resolução de problemas pode às vezes tornar-se trabalhosa. Iremos então definir os vários modos de formar agrupamentos e, usando símbolos simplificativos, deduzir fórmulas que permitam a contagem dos mesmos, em cada caso particular."
Observação
Antes de começarmos as definições e fórmulas de arranjos, permutações e combinações, vale lembrar que a Análise Combinatória é feita muito mais de lógica do que de regra. Então, muito mais do que decorar fórmulas, precisamos e devemos saber pensar.
Apesar de ser uma lógica simples, existem situações que exigem resoluções mais trabalhosas. Nesses casos, é necessário recorrer aos famosos tipos de combinatória.Tipos de análise combinatória
Os estudos de análise combinatória existem pra nos ajudar a contar de forma mais eficiente. Em resumo, existem três tipos de agrupamento: arranjos, combinações e permutações. Mas antes de adentrarmos cada um desses termos, precisamos entender o conceito de fatorial. O fatorial de um número se define como o produto do próprio número pelos seus antecessores. Vale também lembrar que utilizamos o símbolo “!”, pra indicar que estamos falando desse conceito. Outra dica: o fatorial de zero é igual a 1. Aprenda com os exemplos: 0! = 1 1! = 1 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 Conforme os valores aumentam, o fatorial também cresce. Entretanto, alguns problemas de contagem são mais complicados e precisam de outros métodos pra serem resolvidos. Pra isso, existem as ferramentas de agrupamento. Cada uma é usada em um momento diferente, então preste bastante atenção. Agora, vamos conferir os diferentes tipos de análise combinatória e quando utilizá-los!Arranjo simples
Utilizamos os arranjos quando os agrupamentos de elementos dependem de sua ordem e natureza. Então, se liga: chamamos de arranjo de n os elementos tomados p a p. Ou seja, o termo “n” representa um conjunto com diferentes elementos. A expressão fica assim:
Para deixar mais claro, vamos usar um exemplo. Imagine que haverá uma eleição pra escolher um presidente e um vice-presidente pra Comissão de Formatura de uma turma de 20 pessoas.
Quem obtiver mais votos será presidente, e a segunda pessoa mais votada será vice. De quantas maneiras é possível fazer essa escolha?
Nesse caso, “n” será 20, pois são 20 pessoas no total. E “p” será 2, pois ao final, teremos dois cargos. Por isso:
O arranjo pode ser feito de 380 maneiras. Mas por que utilizamos o arranjo neste caso? Já que tratamos de dois cargos diferentes, a ordem de pessoas altera o resultado final. Sempre que houver dependência de ordem e natureza, utilizaremos o arranjo.
Arranjos com Repetição
Sendo M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a1, a2, a3, ..., am}. Denominamos Arranjo com Repetição dos m elementos, tomados r a r, toda sequência de tamanho r formada com elementos de M não necessariamente distintos. Pela primeira parte do PFC, o número de arranjos com repetição será dado por (AR)m,r = m.m.m....m (r vezes), logo, (AR)m,r = mr.
Arranjos
Sendo M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a1, a2, a3, ..., am}. Denominamos Arranjo com Repetição dos m elementos, tomados r a r, com 1 ≤ r ≤ m, toda sequência de tamanho r formada com elementos de M, todos distintos.
Pela segunda parte do PFC, o número de arranjos será dado por Am,r = m.(m-1).(m-2).....[m-(r-1)] (r fatores).
Permutação simples
Vamos ver mais um tipo de análise combinatória. Na permutação, o número de elementos é igual ao número de agrupamentos possíveis. É aí que a gente lembra do fatorial, pois a expressão fica bem assim: Pn = n! Bora ver um exemplo? Um anagrama representa todas as possíveis alterações na ordem das letras de uma palavra. Pra descobrir quantos anagramas a palavra “mérito” pode criar, podemos usar a permutação. Afinal, ela possui 6 letras e nenhuma delas se repete. Então, fica assim: P6 = 6! P6 = 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas. Leia o post completo sobre arranjo, combinação e permutaçãoCombinações
No caso das combinações, a ordem dos elementos não importa, mas as suas características são importantes. Sendo assim, utilizamos a seguinte expressão:
Vamos ver um exemplo? Precisamos de 3 pessoas pra formar um time, mas 10 se candidataram. De quantas maneiras diferentes podemos formá-lo? Como a ordem dos elementos não importa, podemos usar a combinação.
Ou seja, há 120 formas de formar o time.
A gente pode usar a mesma forma pra descobrir quantas chances uma pessoa tem de ganhar na loteria, sabia?
Você deve conhecer alguém que sempre joga e nunca ganha, mas continua tentando. Vamos mostrar a você como provar a alguém que as chances na loteria são muito pequenas!
Na Mega Sena, por exemplo, temos 60 números onde podemos escolher de 6 a 15 números pra marcar. Os prêmios variam de acordo com a quantidade de dezenas que acertamos.
Pode-se ganhar prêmios caso acerte 6, 5 ou 4 dezenas, sendo necessário acertar 6 números pra ganhar o prêmio máximo — aqueles milhões acumulados. Qual é a probabilidade que você chute 6 números e eles sejam sorteados?
Usando combinação simples, calculamos quantas são as combinações possíveis ao escolhermos 6 números de um total de 60 números.
Ou seja, existem 50.063.860 formas de escolhermos 6 números dentre os 60. Então qual é a probabilidade de uma pessoa fazer 1 jogo e acertar os 6?
Sim. É isso mesmo que você leu. Uma pessoa que joga na MegaSena tem 0,000002% de chance de ganhar!
Veja também o post completo sobre análise combinatória e probabilidade
