Entenda como os logaritmos serão cobrados na sua prova de vestibular

Aprenda tudo sobre logaritmos com esta lista para arrasar na hora da sua prova de matemática da escola e do vestibular!

Logaritmos! Temidos por muitos, os logaritmos vieram, na verdade, para te dar esperanças no seu vestibular! Sim, você que repete, incansavelmente, que logaritmos só vieram atrapalhar, não tem ideia do que está falando. Principalmente na prova do ENEM, os logaritmos são cobrados de maneira mais razoável em que muitas vezes precisamos saber apenas definição. Separamos, então, as principais maneiras com que os logaritmos são cobrados na sua prova de vestibular, perceba:

1. Matemática Financeira

A matemática financeira pode depender muito do uso dos logaritmos. Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível. Observe:

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:

M (montante) = 3500

C (capital) = 500

i (taxa) = 3,5% = 0,035

t = ?

M = C * (1 + i)t 3500 = 500 * (1 + 0,035)t 3500/500 = 1,035^t

1,035^t = 7

Aplicando logaritmo:

log 1,035t = log 7
t * log 1,035 = log 7

t * 0,0149 = 0,8451

t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicações.

Lembrando da definição de logaritmo que diz que:

log_ba = c, se b^c = a.

Agora tá fazendo sentido…

2. Crescimento Populacional

Na Geografia, analisamos muito o crescimento de uma determinada população num determinado intervalo de tempo. Para esses cálculos, o entendimento sobre logaritmos também é muito relevante, perceba:

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0
População após um ano = P0 * (1,03) = P1
População após dois anos = P0 * (1,03)²= P2

População após x anos = P0 * (1,03)^x = P^x

P^x = 2*P0
P0 * (1,03)^x = 2 * P0
(1,03)^x = 2

Aplicando logaritmo:

log 1,03x = log 2
x * log 1,03 = log2
x * 0,0128 = 0,3010
x = 0,3010 / 0,0128
x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

Aqui usamos as propriedades (talvez as mais cobradas):

log b.a = log b + log a

log b/a = log b – log a

Os obstáculos não são tão altos assim.. Se você estuda..

3. Meia-vida

Na química, estudamos a meia-vida de muitas substâncias, mas você sabia que nesse estudo os logaritmos são muito usados? Perceba:

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:

Q = Q₀ . e^–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Q = Q0 . e^–rt
200 = 1000 * e^–0,02t
200/1000 = e^–0,02t
1/5 = e^–0,02t
–0,02t = log_e1/5
–0,02t = log_e 5–1
–0,02t = – log_e 5
–0,02t = –ln5 x (–1)
0,02t = ln5
t = ln5 / 0,02
t = 1,6094 / 0,02
t = 80,47

A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

Aí você usa o que aprendeu para química também.

4. Terremotos

Como estamos acompanhando, o Nepal tem passado muitos problemas devido aos terremotos que estão acontecendo por lá. A escala Richter é logarítmica, e por meio dela é possível calcular a magnitude (quantidade de energia liberada), epicentro (origem do terremoto) e a amplitude de um terremoto.

(FUVEST 2010) A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H+. Considere as seguintes afirmações:

I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justificase pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas.

II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8.

III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3.

Está correto o que se afirma somente em:

a) I

b) II

c) III

d) I e II

e) I e III

I está certa. Quando existe uma grande variação exponencial da grandeza estudada, é interessante trabalhar com escala logarítmica:

10 → 1

100 → 2

1.000 → 3

10.000 → 4

II está certa.

pH = – log [H+] Uma solução ácida de pH = 4 apresenta concentração de íons H+ = 10–4 mol/L. Uma solução alcalina de pH = 8 apresenta concentração de íons H+ = 10–8 mol/L.

[H+]_{pH = 4} / [H+]_{pH = 8} = 10^-4 / 10^-8 = 10⁴

[H+]_{pH = 4} = 10.000 [H+]_{pH = 8}

III está errada

A magnitude é dada por k.logE

6 = E^6/k

3 = E^3/k

E₆ = E₃²

Ou seja, um abalo de magnitude 6 libera o quadrado da energia de um abalo de magnitude 3.

Mergulhe de cabeça nos estudos.

Os logaritmos deveriam ser encarados como facilitador do seu estudo e não como vilão, como normalmente é. Os vestibulares costumam cobrar os logaritmos contextualizados nesses determinados assuntos, então, vamos estudar que o vestibular está logo aí!