Estudo analítico dos espelhos esféricos: é mais fácil do que parece!

[caption id="" align="aligncenter" width="377"] Exemplo de espelho convexo, um tipo de espelho esférico.[/caption]

Convenção de sinais (referencial de Gauss)

Consideremos dois eixos ortogonais, com origens no vértice do espelho. Eixo das abscissas:

• Origem: vértice do espelho
• Direção: a do eixo principal
• Sentido: contrário ao da luz incidente

Eixo das ordenadas:

• Origem: vértice do espelho
• Direção: perpendicular ao eixo principal
• Sentido: de baixo para cima

Do referencial gaussiano, decorre o seguinte:

• Elementos reais (objetos ou imagens situados em frente do espelho): abscissa positiva
• Elementos virtuais (objetos ou imagens situados atrás do espelho): abscissa negativa

Convém observar que nos espelhos côncavos a abscissa do foco principal é positiva, enquanto nos espelhos convexos essa abscissa é negativa.

Equação de Gauss e equação do aumento linear transversal

Consideremos o espelho da figura: Considerando o referencial gaussiano, temos, nesse caso, que: p = distância do objeto ao vértice (abscissa do objeto) p' = distância da imagem ao vértice (abscissa da imagem) o = altura do objeto i = altura da imagem f = distância focal (f = R/2, R é o raio de curvatura) Por semelhança de triângulos podemos demonstrar que:

• Equação dos pontos conjugados de Gauss

• Equação do aumento linear transversal

Considerando sempre o objeto real (p > 0), nessas equações, temos:

• Espelho côncavo --> f > 0
• Espelho convexo --> f < 0
• Imagem real --> p' > 0
• Imagem virtual --> p' < 0
• Imagem direita --> i > 0
• Imagem invertida --> i < 0

Exemplo ilustrativo:

Um jovem estudante para fazer a barba mais eficientemente, resolve comprar um espelho esférico que aumenta duas vezes a imagem do seu rosto quando ele se coloca a 50 cm dele. Que tipo de espelho ele deve usar e qual o raio de curvatura? a) convexo com r = 50 cm b) côncavo com r = 200 cm c) côncavo com r = 33,3 cm d) convexo com r = 67 cm Solução: Como a imagem é maior que o objeto, o espelho deve ser côncavo.

Exercícios

1) (MACK-SP) Em um anteparo localizado a 60 cm do vértice de um espelho esférico, forma-se a imagem nítida de um objeto real colocado sobre o eixo principal do espelho e a 20 cm dele. O tipo e o raio de curvatura desse espelho são, respectivamente: A) côncavo e 15 cm B) côncavo e 10 cm C) côncavo e 30 cm D) convexo e 15 cm E) convexo e 30 cm 2) (UERJ) Com o objetivo de obter mais visibilidade da área interna do supermercado, facilitando o controle da movimentação de pessoas, são utilizados espelhos esféricos cuja distância focal em módulo é igual a 25 cm. Um cliente de 1,60 m de altura está a 2,25 m de distância do vértice de um dos espelhos. A) Indique o tipo de espelho utilizado e a natureza da imagem por ele oferecida. B) Calcule a altura da imagem do cliente. 3) (UFPel-RS) Um espelho esférico projeta sobre uma parede uma imagem três vezes maior do que uma vela colocada diante dele. Sabendo que o vértice do espelho encontra-se a 6 m da parede, responda às seguintes perguntas: A) O espelho é côncavo ou convexo? Por quê? B) Quanto mede o raio do espelho? Gabarito: 1) C 2) A) O espelho é convexo, pois o campo visual é maior. A imagem é virtual. B) i = 16 cm. 3) A) O espelho é côncavo porque somente imagens reais podem ser projetadas sobre uma parede. B) R = 3 m.