Trigonometria: Operações com Arcos

Vimos no resumo passado os conceitos básicos da trigonometria, agora vamos entender os valores dos senos e cossenos dos ângulos notáveis e realizar um estudo mais completo através do ciclo trigonométrico.

Arcos de Circunferência

Consideramos uma circunferência de centro O e um ângulo central AÔB, sendo A e B pontos que pertencem tanto aos lados do ângulo como à circunferência. Sendo M um ponto entre A e B pertencente ao ângulo AÔB e M’ um ponto entre A e B não pertencente a este ângulo como podemos ver na figura abaixo:

Dizemos que a circunferência fica dividida em duas partes, cada uma é um arco de circunferência:


(A e B são as extremidades dos arcos).

OBS1:  Se A e B são extremidades de um diâmetro, dizemos que os arcos formados são semicircunferências.
OBS2: Se A e B são coincidem, teremos o arco nulo (um ponto) e o arco de uma volta (a circunferência).

Medidas de Arcos

Para compararmos tamanhos de arcos precisamos estabelecer um método que nos permita dizer qual deles é maior ou se são iguais. Sendo u um arco unitário de mesmo raio que

, a medida deste será expressa através do número de vezes que o arco u cabe nele. No exemplo abaixo, ele mede 7.arco u.

Unidades

Para evitar a confusão caso cada um escolhesse uma unidade u distinta para medir o mesmo arco, limitamos as unidades a duas somente: o grau e o radiano.

Circunferência Trigonométrica

É aquela de raio r = 1, centro O e comprimento 2π em que associamos a cada número real x um único ponto P da seguinte forma: se x = 0, então P coincide com A; se x > 0, traçamos um percurso a partir de A no sentido anti-horário de comprimeto x com ponto final P; e se x < 0, traçamos um percurso a partir de A no sentido horário de comprimento |x| com ponto final P, como podemos ver na figura abaixo.

Esta circunferência também é conhecida como Ciclo Trigonométrico.

Razões Trigonométricas na Circunferência

Na circunferência abaixo, o eixo c é o dos cossenos, o eixo s é o dos senos, o eixo t é o das tangentes e o eixo t’ é o das cotangentes:     

Dado o número real x ∈ [0, 2π] de imagem F no ciclo, denominamos seno de x a ordenada OG do ponto F em relação ao sistema cOs; e cosseno de x a abcissa OC do ponto F em relação ao sistema cOs.


Sendo

, denominamos tangente de x a medida do segmento AE. E sendo x ∉ {0, π , 2π}, denominamos cotagente de x a medida do segmento BD.


Sendo

, denominamos secante de x a abcissa OI do ponto I. E sendo x ∉ {0, π , 2π}, denominamos cossecante de x a ordenada OH do ponto H.

Relações Fundamentais

Fontes de Pesquisa: 

Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 3; Iezzi, Gelson.
Oitava Edição – São Paulo: Atual, 2004.

Exercícios

1. (Fuvest – SP) A tangente do ângulo 2x é dada em função da tangente de x pela seguinte fórmula:

Calcule um valor aproximado da tangente do ângulo 22°30′.
a) 0,22
b) 0,41
c) 0,50
d) 0,72
e) 1,00

2. (UF-RN) Na representação a seguir, EF é o diâmetro da circunferência; EG e FG são catetos do triângulo retângulo FGE, inscrito na circunferência trigonométrica; e FG é perpendicular a Ox para qualquer α. O raio da circunferência é unitário.

Nessas condições, podemos afirmar que, para qualquer α (0° < α < 90°):

FG = 2sen\alpha")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=d)&space;FG&space;=&space;2sen\alpha)

3. (UCDB-MS) Se cosx + senx.tgx = 3, x pertencente ao 1° quadrante, o valor da cotgx é igual a:

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