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Geometria analítica, plano cartesiano, distância e reta

Estudada através do plano cartesiano e dos princípios da álgebra e da análise, a geometria analítica contrasta com a abordagem da geometria plana.

A geometria analítica também é conhecida como geometria de coordenadas e geometria cartesiana. Ela é estudada através dos princípios da álgebra e da análise, contrastando com a abordagem sintética da geometria euclidiana (plana), na qual certas noções são consideradas primitivas.

É um campo matemático no qual são utilizados métodos e símbolos algébricos para representar e resolver problemas geométricos. Sua importância está no fato de que estabelece uma correspondência entre equações algébricas e curvas geométricas, através do plano cartesiano, o que torna possível a reavaliação de problemas na geometria como problemas equivalentes na álgebra, e vice-versa. Isso quer dizer que os métodos de um âmbito podem ser utilizados para solucionar problemas no outro.

Esta geometria é muito importante para as áreas da física e da engenharia, e é fundamental nas mais modernas geometrias, incluindo geometria algébrica, diferencial, discreta e computacional.

Agora vamos ver um pouquinho desse mundo tão útil e encantador!

Distância entre Dois Pontos

Dados os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), a distância d entre A e B, no plano cartesiano, é dada por:

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Ponto Médio

Dados os pontos A(1, y1) e B(x2, y2), as coordenadas do ponto médio do segmento AB são:

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Teorema: Condição para o Alinhamento de Três Pontos

Os pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) são colineares no plano cartesiano. Se, e somente se, suas coordenadas satisfazem a igualdade, temos que:

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Equação Geral da Reta

Sabendo que uma reta r passa pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) do plano cartesiano, sua equação é dada pelo seguinte determinante:

Desenvolvendo o determinante:

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Teorema

Toda equação da forma ax + by + c = 0, com a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ou b ≠ 0, está associada a uma única reta r no plano cartesiano, cujos pontos P(x, y) são as soluções da equação dada.

Posições Relativas de Duas Retas

Temos duas retas no plano cartesiano: r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0. Elas podem ser concorrentes, paralelas ou coincidentes. Serão…

  • … concorrentes se:
  • … paralelas se:
  • … coincidentes se:

Coeficiente Angular

Uma reta que passa pelo ponto P(x0, y0) do plano cartesiano tem como equação y – y0 = m.(x – x0). Sendo m o coeficiente angular, consequentemente:

 Condição de Perpendicularismo

Para que duas retas r e s, não verticais, sejam perpendiculares no plano cartesiano, temos que mr.ms = -1, isto é, o produto de seus coeficientes angulares tem que ser igual a -1.

O Ângulo entre Duas Retas

O ângulo formado por duas retas m e s é aquele cuja tangente é dada por:

Distância entre Ponto e Reta

Dados o ponto P(x0, y0) e a reta r: ax + by + c = 0, a distância d entre o ponto P e a reta r no plano cartesiano:

Área do Triângulo

A área de um triângulo de vértices A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) é dada pelo semideterminante dos vértices.

Exercícios

1.  (Unirio) A função linear f(x) = ax + b é representada por uma reta que contém o ponto (2,-1) e que passa pelo vértice da parábola y = 4x – 2x². A função é:

a) f(x) = -3x + 5

b) f(x) = 3x – 7

c) f(x) = 2x – 5

d) f(x) = x – 3

e) f(x) = x/3 – 7/3

2. (Pucsp) Os pontos A=(-1; 1), B=(2; -1) e C=(0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. A equação da reta suporte da diagonal BD, desse quadrado, é:

a) x + 5y + 3 = 0.

b) x – 2y – 4 = 0.

c) x – 5y – 7 = 0.

d) x + 2y – 3 = 0.

e) x – 3y – 5 = 0.

GABARITO

1. A

2. C

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