Números primos e compostos: história, definição e relações

Aprenda a diferença entre essas duas classes e o que elas são exatamente


Bem, podemos classificar todos os naturais maiores do que 1 em apenas dois grupos: os primários e os compostos. Os primários nada mais são do que os famosos números primos. Já os compostos são todos os outros números e recebem esse nome porque são uma composição de números primos. Ou seja, qualquer número não primo pode ser decomposto em fatores primos.

Para entender um pouco mais sobre esse assunto, criamos um conteúdo falando sobre a história, definição e relações entre números primos e compostos. Vamos juntos?

Entenda um pouco da história desses números


Apesar de Pitágoras não ter deixado nada escrito sobre, acredita-se que as primeiras noções e estudos sobre números primos e compostos sugiram na escola pitagórica (por volta de 530 a.c.). Porém, foi somente em 300 a.c. que Euclides de Alexandria demonstrou a existência de infinitos números primos.

Os gregos da escola pitagórica viam o número 1 como uma unidade e os demais naturais (2, 3, 4, ...) eles enxergavam como conjuntos de unidades, esses eles chamavam de números (em grego: arithmoús). Não parando por aí, eles dividiram os arithmoús em dois grupos:

  • Os números primos (prótous arithmoús): são os que não podem ser obtidos através do produto de outros arithmoús.

  • Os números compostos (sýntheton arithmoús): são os que podem ser obtidos através do produto de outros arithmoús.

    Sendo assim, os gregos dividiam os naturais em três classes: a unidade, os números primos e os números compostos.

Conheça as definições


Número primo

Um número primo possui somente dois divisores naturais distintos: o um e ele mesmo.

Número composto

Um número composto possui mais de dois divisores naturais distintos.

Classificando alguns números


Entendendo D(x) como divisores do número x, temos:

Você pode ver que na primeira coluna, temos com divisores dos números somente o 1 e ele mesmo, portanto os números 2, 3, 5, 7 e 11 são números primos!

Já na segunda coluna, temos mais de dois divisores em todos, portanto, os números 4, 6, 8, 10 e 12 são números compostos!

Curiosidade

O 2 é o único número primo que é par!

Todos os pares após o 2, são divisíveis por 2, portanto já têm mais de dois divisores distintos, o que os classifica como números compostos 😉

Decompondo números em fatores primos


Lembra que falamos mais em cima sobre números compostos poderem ser obtidos através do produto de números primos? Vamos ver agora como fazer isso!

O processo a seguir se chama fatoração, que é basicamente descobrir quais são os fatores que multiplicados resultam naquele número.

Para fazermos isso, vamos traçar uma linha vertical. Do lado esquerdo iremos colocar os quocientes (começando pelo número a ser fatorado) e do lado direto iremos colocar os divisores (que nesse caso serão números primos). Após cada divisão, o quociente seguinte será o resultado da ultima divisão até o que o quociente seja 1.

Usaremos um exemplo ímpar e um exemplo par: o número 15 e o número 60.

Observe:

Vimos então que o número 15 pode ser decomposto no produto dos fatores 2 e 5 e o número 60 pode ser decomposto em 2² x 3 x 5.

Conhecendo o crivo de Eratóstenes


Um matemático do século 300 a.c. chamado Eratóstenes criou um método simples e prático para encontrar os números primos até um determinado valor. Ele fez uma tabela de 1 até 100 e, começando pelo primeiro primo que é o 2 ele eliminou todos os seus múltiplos, em seguida, eliminou os múltiplos de 3, depois disso, os de 5 e, finalmente, os múltiplos de 7. Após fazer isso, chegou ao resultado de que todos os números que restaram com exceção do 1(que não é um primo) são primos!

Veja a tabela com o crivo de Eratóstenes:

Como podemos ver, os números que estão pintados são os 25 números primos que temos entre 1 e 100.

Lista de números primos


É impossível construir uma lista com todos os números primos pois eles são infinitos!

E embora seja muito importante conhecer os primeiros, não é necessário decorar muitos deles desde que você saiba como descobrir se um número é ou não primo (o que já vimos ali em cima 😉)

Mesmo assim, temos aqui uma lista com os primos entre 1 e 1.000.

  • 2 3 5 7

  • 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

  • 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199

  • 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293

  • 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397

  • 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499

  • 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599

  • 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691

  • 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797

  • 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887

  • 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

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