Formas Geométricas na Matemática

Conheça nesse texto as figuras que são tão estudadas na Geometria!

Há muitos e muitos anos, a matemática crescia como ramo de estudo através da geometria. Euclides, o mais importante geômetra, escreveu um livro inteiro sobre as bases da geometria e suas formas geométricas. Atualmente, a matemática está dividida em duas grandes áreas: álgebra e geometria.

Essa última é o ramo dos desenhos, das formas, do espaço e das figuras que o ocupam. Pensando nisso, fizemos este texto para você conhecer um pouco mais sobre isso tudo!

1) Polígonos

A palavra “polígono” significa, literalmente, “o que tem muitos lados”. Em matemática, chamamos de polígonos as figuras fechadas formadas apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Mantenha a calma... Sabemos que essa definição é complicada, mas será mais fácil de compreender quando virmos as figuras.

Aliás, como curiosidade, a matemática antiga era muito mais geométrica do que algébrica, talvez porque fosse mais fácil visualizar as operações matemáticas através das formas do que a partir de abstrações de contas e equações.

Vamos, então, às figuras:

Formas Geométricas na Matemática - Ft. 01

A figura delimitada pelos segmentos de reta AB, BC, CD, DE, EF e FA é um polígono. Não somente um polígono que podemos chamar de ABCDEF, mas também um polígono convexo. Dizemos que ABCDEF é convexo porque:

  • se tomarmos dois pontos quaisquer na região limitada pelo polígono, o segmento de reta que os une sempre estará inteiramente contido nesta região;

  • todas as diagonais (os segmentos de reta que ligam os vértices) passam por dentro do polígono.

Vejamos, agora, outro polígono:

Formas Geométricas na Matemática - Ft. 02

Este polígono ABCDEF é não-convexo, pois não cumpre com as condições necessárias para ser convexo:

  • há pelo menos um segmento que liga dois pontos internos e passa por fora do polígono; e

  • há pelo menos uma diagonal que passa por fora do polígono (AE, por exemplo)

1.1) Elementos de um polígono:

Como você já pode ter percebido, os polígonos convexos estão presentes em muitas coisas de nossas vidas. Eles possuem alguns elementos importantes - vértices, lados, diagonais, ângulos internos e ângulos externos. Vejamos cada um deles, destacados na imagem a seguir:

Formas Geométricas na Matemática - Ft. 03
  • Vértices

    São os pontos A, B, C, D, E e F.

  • Lados

    São os segmentos de reta AB, BC, CD, DE, EF e FA.

  • Diagonais

São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro não consecutivo a ele: AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF e DF.

Há uma fórmula capaz de calcular o número de diagonais que um polígono possui:

d = n (n-3)/2

Onde n é o número de lados do polígono.

  • Ângulos Internos

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Também temos uma fórmula para a soma dos ângulos internos: Si = 180° (n-2)

Onde n é o número de lados do polígono.

  • Ângulos Externos

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São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento dele, como podemos ver na figura.

A soma dos ângulos externos é sempre 360º, qualquer que seja o polígono.

1.2) Nome dos polígonos:

Os polígonos recebem nomes específicos de acordo com o número de lados que possuem.

3 lados → triângulo ou trilátero

4 lados → quadrângulo ou quadrilátero

5 lados → pentágono ou pentalátero

6 lados → hexágono ou hexalátero

7 lados → heptágono ou heptalátero

8 lados → octágono ou octalátero

9 lados → eneágono ou enelátero

10 lados → decágono ou decalátero

11 lados → undecágono ou undecalátero

12 lados → dodecágono ou dodecalátero

15 lados → pentadecágono ou pentadecalátero

20 lados → icoságono ou icolátero

Olha só um exemplo disso na vida real:

Formas Geométricas na Matemática - Ft. 07

O Pentágono, sede do Departamento de Defesa dos Estados Unidos, é, como o nome indica, um polígono de cinco lados. (acho legal destacar o desenho do pentágono)

1.3) Polígonos Regulares:

Para finalizar nossa exposição sobre polígonos, veremos os polígonos regulares. Eles são especiais porque possuem lados de mesmo comprimento, ângulos internos congruentes e ângulos externos congruentes. Temos duas fórmulas específicas para polígonos regulares.

→ Medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados: ai = 180º (n - 2) /n

→ Medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados: ae = 360º/n

2) Poliedros

Agora que sabemos sobre polígonos, que são figuras de duas dimensões, podemos falar sobre poliedros. “Poliedro” significa literalmente “o que tem muitas faces”. Essas faces são – acabamos de ver – polígonos. Em uma definição mais precisa, podemos dizer que poliedros são sólidos geométricos formados por vértices, arestas e faces, cujas superfícies são polígonos planos. Vejamos alguns desenhos de poliedros:

Formas Geométricas na Matemática - Ft. 08

Como você pode ter percebido, a intenção dos desenhos é dar a impressão de três dimensões, com o tracejado das arestas e variações de cores. Isso acontece porque os poliedros possuem três dimensões, diferentemente dos polígonos, que só possuem duas.

Poliedros são compostos por faces, arestas e vértices. Observe abaixo:

Formas Geométricas na Matemática - Ft. 09
  • faces são as superfícies planas poligonais que limitam o poliedro.

  • arestas são as interseções entre as faces do poliedro, isto é, onde as faces se tocam.

  • vértices são os pontos de encontro das arestas.

2.1) Fórmula de Euler:

Esses três elementos, vértices, faces e arestas, possuem uma relação matemática exposta por Leonhard Euler, um matemático suíço. Em um poliedro convexo, temos que: V + F = A + 2

Sendo:

V – o número de vértices

F – o número de faces

A – o número de arestas

Essa fórmula serve para qualquer poliedro convexo e para alguns poliedros côncavos.

2.2) Mas o que são poliedros convexos e côncavos?

→ Um poliedro é chamado convexo quando o plano que contém cada face deixa todas as outras em um mesmo semiespaço.

Poliedro convexo: Poliedro côncavo:

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2.3) Cálculo para quantidade de arestas de um poliedro:

Seja um poliedro com F3 faces triangulares, F4 faces quadrangulares, F5 pentagonais etc...

Podemos calcular a quantidade de arestas (A) desse poliedro usando a fórmula:

2A = 3F3 + 4F4 + 5F5 + 6F6 + ...

Basicamente, essa fórmula nos diz que, se quisermos contar as arestas do poliedro contando as arestas de cada uma das faces, é preciso dividir o resultado por 2, pois cada uma das arestas pertence à duas faces.

2.4) Poliedros de Platão:

Platão, sim, o mesmo que ensinava filosofia na Grécia antiga, deixou uma contribuição no estudo dos poliedros. O pensador grego criou um teorema que nos diz que existem 5, e apenas 5, poliedros regulares. Esses 5 poliedros são chamados poliedros de Platão.

Para que um poliedro possa ser um poliedro de Platão, ele precisa cumprir as seguintes condições:

→ todas as faces devem ter a mesma quantidade n de arestas;

→ todos os vértices devem ser formados pela mesma quantidade m de arestas;

Estes são os 5 poliedros de Platão:

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Pronto, conhecemos as formas geométricas que mais caem no vestibular. Agora, vamos olhar questões que caíram nos vestibulares:

  1. “Há uns dez anos, um aluno, cujo nome infelizmente não recordo, apareceu na escola com algumas peças de seu artesanato. Trabalhando com madeira, pregos e linhas de várias cores, em compunhas paisagens, figuras humanas e motivos geométricos. Foi a primeira vez que vi esse tipo de artesanato. Depois disso, vi muitos outros trabalhos na mesma linha (sem trocadilho!). Certo dia, folheando um livro, vi o desenho de um decágono regular e suas diagonais.”
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Observe que, no decágono que ilustra o texto acima, o aluno citado usou vários pedaço sde linha para compor os lados e as diagonais do polígono. Cada lado e cada diagonal foi construído com, exatamente, um pedaço de linha. A quantidade de pedaços de linha usados para formar as diagonais do decágono é

a) 50

b) 70

c) 25

d) 40

e) 35

  1. O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A granada é um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos polígonos correspondentes às faces. Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de é convexo, então a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual a

a) 10.

b) 12.

c) 25.

d) 42.

e) 50.

GABARITO:

  1. E
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  1. B

    Usamos a relação de Euler:

V + F = A + 2

20 + F = 30 + 2

F = 12

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