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Questões Comentadas: Prismas

Resolva exercícios de vestibular sobre "Prismas", aprenda o passo-a-passo da resolução e prepare-se para o Enem e vestibulares!
porDescomplica| 16/06/2016

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Antes de realizar questões sobre prisma, é importante entender um pouco mais da teoria por trás da geometria espacial. Os prismas são formas geométricas sólidas, que pertencem ao estudo da geometria.

Têm como principal característica ser um poliedro convexo que possui duas bases. Ou seja, dois polígonos que têm formato idêntico que se posicionam de forma congruente um ao outro, em paralelo.

Entre os principais elementos que representam e compõem um prisma estão arestas, base, altura, faces laterais e vértices.

As arestas ficam localizadas nos lados que contornam o polígono nas bases e laterais. Entretanto, existem as arestas de bases e as arestas laterais. Que também são chamadas de lados das faces.

Enquanto isso, os vértices do prisma são as quinas, os pontos de encontro entre as arestas. E a distância e a altura compõe o que é calculado entre os planos presentes das bases.

Classificação dos prismas

Ao resolver questões sobre prisma, é possível encontrar dois tipos diferentes. Isso porque a forma geométrica pode surgir de duas formas diferentes, sendo reta e oblíqua.

Os prismas retos têm como característica as arestas laterais perpendiculares à face de base. Sendo assim, suas laterais formam verdadeiros retângulos.

Enquanto que o prisma oblíquo tem as arestas laterais posicionadas na diagonal, sendo assim, essas faces formam paralelogramos.

Os formatos de base dos prismas também podem variar e são classificados como prisma triangular quando a base é um triângulo; prisma quadrangular quando é um quadrado; prisma pentagonal quando é um pentágono.

Também existem os de formatos com mais cantos, que são o prisma hexagonal com base em forma de hexágono, o prisma heptagonal com base em forma de pentágono e o octogonal com base em forma de octógono.

Vale ressaltar que quanto mais lados a base de um prisma, mais faces laterais ele terá. 

Além disso, existem os prismas regulares, que possuem as bases formadas por polígonos regulares. Sendo assim, prismas retos.

Uma observação válida é que quando as faces do prisma são quadradas, ele se torna um cubo. Enquanto isso, se as faces formarem paralelogramos, ele se torna um paralelepípedo.

Prisma: resumo de fórmulas

Pra calcular a área de um prisma, é possível usar fórmulas, mas elas são divididas em laterais e em área total. Portanto, pra calcular a área lateral de um prisma, é necessário somar todas as faces que existem e sendo um prisma reto, a fórmula fica da seguinte forma:

Al = n . a

Sendo “n” o número de lados, e “a” a face lateral. 

Além disso, a fórmula pra calcular a área total do prisma, envolve somar as áreas das faces laterais junto às áreas das bases. Portanto a fórmula fica da seguinte forma:

At =Sl + 2Sb

Sendo “Sl” a soma das faces laterais, e Sb as bases. Tudo sendo somado com o valor da área.

Já pra calcular o volume do prisma, o ideal é usar a fórmula:

V = Ab.h

Sendo “h” o valor da altura, e “Ab” a área da base.

Exercícios resolvidos sobre Prisma

1. (Ita) As dimensões x, y, z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 694cm², então o volume deste paralelepípedo, em cm³, é igual:

a) 1.200
b) 936
c) 1.155
d) 728
e) 834

2. (Ufpe) Dois cubos C1 e C2 são tais que a aresta de C1 é igual à diagonal de C2. Se V1 e V2‚ são, respectivamente, os volumes dos cubos de C1 e C2, então, a razão V1/V2‚ é igual a:

a) ³√3
b) √27
c) 1/√27
d) 1/³√3
e) ³√9

GABARITO

1. C

Solução Passo-a-Passo:

Se x, y e z estão em progressão aritmética, x = y – r e z = y + r. Sabemos que x + y + z = 33 ⇒ x + z = 33 – y, então, y – r + y + y + r = 33 ⇒ 3y = 33 ⇒ y = 11 e x + z = 33 – 11 = 22. Se elevarmos a soma ao quadrado, teremos: (x + y + z)² = x² + y² +z² +2.(xy + xz + zy) ⇒ 33² = x² + y² + z² + 2.(xy + xz + zy). Mas x² + y² + z² é  o quadrado da diagonal do prisma e 2.(xy + xz + zy) é a área total do prisma, logo, 1089 = d² + At ⇒ 1089 = d² + 694 ⇒ 1089 – 694 = d² ⇒ d² = 395. Portanto, x² + y² + z² = 395 ⇒ x² + 11² + z² = 395 ⇒ x² + z² = 395 – 121 ⇒ x² + z² = 274. Mas x + z = 22 ⇒ x = 22 – z. Assim, (22 – z)² + z² = 274 ⇒ 484 – 44z + z² +z² = 274 ⇒ 2z² – 44z + 484 – 274 = 0 ⇒ 2z² – 44z + 210 = 0 ⇒ z² – 22z + 105 = 0, por produto de Steve, precisamos de dois números cujo o produto seja 105 e cuja a soma -22, eles são -7 e -15, desta forma, (z – 7).(z – 15) = 0 ⇒ ou z -7 = 0, z = 7 e x = 22 – 7 = 15, o que não é viável pois x < z; ou z – 15 = 0 ⇒ z = 15 e x = 22 – 15 =7. Sabemos agora que x = 7, y = 11 e z = 15, por conseguinte, o volume desse prisma é V = x.y.z ⇒ V = 7.11.15 ⇒ V = 1155.

2. B

Solução Passo-a-Passo

Sendo c a aresta de C2, a diagonal de C2 será d2 = c√3. E, consequentemente, a aresta de C1 será c√3. O volume de C1 será (c√3)³ = 3c³√3 e o de C2 será c³, assim, a razão entre V1 e V2 é 3c³√3/c³ = 3√3 = √27.

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