✨SAIBA COMO E O QUE ESTUDAR PARA O ENEM✨
Não sabemos ao certo quando se iniciou o interesse pelos poliedros - sólidos de faces planas. Porém, existem registros históricos de fontes egípcias, chinesas e babilônicas contendo soluções para problemas envolvendo pirâmides.
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Os egípcios se interessaram desde cedo por várias áreas da ciência como Astronomia e Medicina e nos deixaram de herança uma grande base matemática - até bem avançada para os recursos da época.[/caption]
Superfície Poliédrica Limitada Convexa
Dizemos que uma superfície poliédrica limitada convexa é o conjunto de um número finito de polígonos planos e convexos de maneira que dois polígonos - faces - não estão no mesmo plano e cada lado de um desses polígonos não está em mais que dois polígonos. Ou seja, as arestas são compartilhadas por no máximo duas faces. Além disso, de modo que o plano de cada polígono deixa os outros num mesmo semi-espaço e quando esses lados estão em apenas um polígono, eles formam o contorno.
As superfícies que têm contorno são chamadas "abertas", enquanto as que não têm são chamadas "fechadas".
Ah, mais um detalhe: tanto a superfície aberta quanto a fechada não são uma região convexa.
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Superfícies Poliédricas Limitadas Convexas Aberta e Fechada.[/caption]
Elementos de uma Superfície Poliédrica Limitada Convexa
- Faces: são os polígonos;
- Arestas: são os lados dos polígonos;
- Vértices: são os vértices dos polígonos;
- Ângulos: são os ângulos dos polígonos.
Elementos de uma Superfície Poliédrica Limitada Convexa[/caption]
Poliedros Convexos
Sendo n um número finito maior ou igual a quatro uma quantidade de polígonos convexos, dizemos que determinamos n semi-espaços, cada um deles tem origem no plano de um polígono e contém os demais.
Damos o nome de poliedro convexo à interseção desses semi-espaços. Já a reunião das faces - polígonos convexos - chamamos de superfície do poliedro.
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Poliedros Convexos[/caption]
Congruência
Podemos dizer que dois poliedros são convexos se, e somente se, conseguirmos estabelecer uma correspondência ordenada entre suas faces e seus ângulos poliédricos. Daí, encontramos a congruência de faces, arestas, ângulos e diedros.
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Dodecaedros Congruentes[/caption]
Relação de Euler
Sendo V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces, vale para todo poliedro convexo a relação (que pode ser provada por indução finita):
V - A + F = 2
Observação: Os poliedros para os quais é válida essa relação são chamados poliedros eulerianos. Todo poliedro convexo é euleriano. Porém, nem todo poliedro euleriano é convexo. ?
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Leonhard Paul Euler foi um grande matemático e físico suíço.[/caption]
Soma dos Ângulos das Faces
Sendo r um ângulo reto, a soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é dada por:S = (V - 2).4r
Poliedros de Platão
Chamamos poliedros de Platão todos aqueles que atendem as seguintes condições:- Todas as suas faces têm o mesmo número de arestas;
- Todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas;
- É válida a relação de Euler.
Poliedros de Platão.[/caption]
Dica: Para lembrar os nomes dos poliedros de Platão grave o nome Thodi.
Poliedros Regulares
Um poliedro convexo é regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes. Além disso, seus ângulos poliédricos também são congruentes. Existem apenas cinco poliedros regulares. Todo poliedro regular é de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é regular.
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Poliedros Regulares[/caption]
Fontes de Pesquisa:
Dolce, Osvaldo e Pompeo, José Nicolau; Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 10 Sexta Edição, São Paulo: Atual, 2005.
Partiu revisar?
Conferiu tudo certinho? Incrível! Aqui no final separamos alguns exercícios sobre Poliedros para você ver se aprendeu mesmo. Mas, antes de partir para a prática, que tal dar uma revisada? Afinal, é sempre bom manter a matéria fresca na cabeça, certo? Para isso, separamos o episódio do Quer Que Desenhe sobre o Cálculo de Volumes para fixar bem todos os conceitos sobre Poliedros. Clique aqui para baixar o mapa mental sobre essa matéria e relembrar este conteúdo sempre que precisar. Se liga nessa ?Exercícios
1. (UF - PI) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de faces em 18. O número de vértices desse poliedro é:
a) 10 b) 20 c) 24 d) 30 e) 32
2. (Fuvest - SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui:
a) 33 vértices e 22 arestas. b) 12 vértices e 11 arestas. c) 22 vértices e 11 arestas. d) 11 vértices e 22 arestas. e) 12 vértices e 22 arestas.
3. (PUCAMP - SP) Sobre as sentenças:
I. Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.
É correto afirmar que apenas:
a) I é verdadeira. b) II é verdadeira. c) III é verdadeira. d) I e III são verdadeiras. e) II e III são verdadeiras.
4. (U.F. Santa Maria - RS) Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de faces pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais é, em radianos, igual a:
a) 3π b) 12π c) 36π d) 64π e) 108π
5. (U.F. - RS) Um poliedro convexo tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente:
a) 34 e 10 b) 19 e 10 c) 34 e 20 d) 12 e 10 e) 19 e 12
GABARITO
1. B
2. E
3. E
4. E
5. B
Agora sim, hein? Não vai ter questão sobre Poliedros que seja páreo para você no vestibular! Conte com a gente para tudo nessa jornada até a vaga na faculdade! Vamos juntos?
