Sistema Linear: o que é e como resolvê-lo?

Um conjunto de “m” equações lineares nas variáveis x₁, x₂, …, x_n é chamado de sistema linear de m equações e n incógnitas.

Neste resumo, falaremos sobre Sistemas Lineares. Esses sistemas estão presentes em inúmeras situações do seu dia-a-dia, como, por exemplo, no ato do seu avô de separar uma mesada para seus netos. Antes de exemplificarmos, devemos saber o que é um sistema de equações lineares.

Equações lineares

Uma equação linear é toda equação da forma:

a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = b

Em que a₁, a₂, …, a_n são coeficientes reais e b, também real, é o termo independente da equação. Por exemplo:

x + y + z = 4  ;   x₁ – x₂ + x₃ = 3  ;  x – y = 2

OBS: perceba no segundo exemplo que x₁, x₂ e x₃ são incógnitas diferentes!

Solução de uma equação linear

Cada equação linear possui soluções que a satisfazem, assim, existem sequências ordenadas de números reais que são soluções dessas equações.
Olhando nossos exemplos acima, temos:

x + y + z = 4

Perceba que, para essa equação, temos infinitas soluções. Por exemplo:

x = 1, y = 2 e z = 1 ou (1, 2, 1);
 
 
x = 0, y = 3 e z = 1 ou (0, 3, 1);

… e, assim, podemos encontrar infinitas sequências ordenadas como essas.

x – y = 2

Podemos ter que:

x = 4 e y = 2 ou (4, 2);
 
x = -3 e y = 5 ou (-3, 5);

… e assim também podemos ter infinitos pares ordenados que satisfazem essa equação.

Sistema linear

Um conjunto de “m” equações lineares nas variáveis x₁, x₂, …, x_n é chamado de sistema linear de m equações e n incógnitas. Perceba:
 é um sistema linear com duas equações e duas incógnitas
 é um sistema linear com duas equações e quatro incógnitas

Representação matricial de um sistema

É possível representar matricialmente um sistema linear lembrando da definição de multiplicação de matrizes. Podemos representar por um produto da matriz de coeficientes pela matriz de incógnitas. Perceba como:

Temos que esse sistema pode ser escrito pelo produto:

Já o seguinte sistema:

Pode ser representado por:

Solução de um sistema linear

A solução de um sistema linear é dada pela sequência ordenada que satisfaz a todas as equações de um sistema. Assim, perceba:

O par ordenado (4,1) é solução do sistema , pois x = 4 e y = 1 são a única solução desse sistema que satisfazem as duas equações.
A tripla ordenada (5, 3, 2) é solução do sistema ,  pois x = 5, y = 3 e z = 2 são solução desse sistema que satisfazem as três equações.

OBS: Nem todos os sistemas possuem apenas uma solução, como veremos adiante.

Classificação de um sistema linear

Um sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções. Podemos ter:

• Sistema possível e determinado (SPD): tem apenas uma solução.

O sistema     é possível e determinado pois o par ordenado (1,6) é sua única solução.

• Sistema possível indeterminado (SPI): tem infinitas soluções.

O sistema  apresenta infinitas soluções como por exemplo: (1,1,2), (0,2,4), (1,0,1), …. .

• Sistema Impossível (SI): não tem solução.

O sistema  não possui nenhum par ordenado que satisfaça as duas equações ao mesmo tempo.

Resolução de um sistema linear pela Regra de Cramer

Consideramos o sistema . Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que esse sistema pode ser escrito pela forma matricial:

Esse sistema é possível determinado quando o determinante D=for diferente de zero.
As soluções desse sistema são dadas por:
x = D_x/D
y = D_y/D
Em que D_x e D_y são:
D_x = , em que trocamos a coluna referente aos coeficientes de “x” pela coluna de resultados.
D_y = , em que trocamos a coluna referente aos coeficientes de “y” pela coluna de resultados.
Esses resultados são conhecidos como Regra de Cramer e podem ser generalizados para um sistema n x n (n equações e n incógnitas)

Discussão de um sistema linear

Como vimos antes, um sistema pode ser classificado como SPD, SPI ou SI. Agora, vamos ver como podemos identificá-los por meio da Regra de Cramer:

• SPD: para um sistema ser possível e determinado, ou seja, possuir uma única solução, temos que D ≠ 0, sendo D o determinante dos coeficientes, como vimos acima.
• SPI: para um sistema ser possível e indeterminado, ou seja, possuir infinitas soluções, temos que D = 0 e D_x ou D_y iguais a zero. Perceba:

Com D = 0 e D_x = 0:
x = D_x/D = 0/0 , ou seja, uma indeterminação.
Assim como D = 0 e D_y = 0:
y = D_y/D = 0/0, também uma indeterminação.
Então, basta D = 0 e D_x ou D_y serem iguais a zero para termos um SPI.

• SI: para um sistema ser impossível, ou seja, não possuir solução, temos que D = 0 e D_x ou D_y diferentes de zero. Perceba:

Com D = 0 e D_x ≠ 0:
Como x = D_x/D, teríamos um número diferente de zero dividido por zero e, como sabemos, não existe divisão por zero. Logo, o sistema não possui solução.

Exercícios

1) (UERJ) Um feirante separou um número inteiro de dúzias de tangerinas (t), de maçãs (m) e de pêras (p). Observou que para cada maçã arrumada, havia 2 tangerinas. Com 90 dúzias, ele fez lotes de 6 tangerinas, lotes com 6 maçãs e lotes com 4 pêras. Colocou em cada lote, indistintamente, o preço de R$0,50. Arrecadou R$105,00 na venda de todos eles. Calcule t, m, e p.
 
 
2) (VUNESP-04) Maria tem em sua bolsa R$15,60 em moedas de R$ 0,10 e de R$ 0,25. Dado que o número de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa é:
A) 68.
B) 75.
C) 78.
D) 81.
E) 84.
 

Gabarito

1. Considerando t, m e p o número de dúzias de cada fruta, temos que 2m = t. Como 1 dúzia = 12, foram feitos com cada dúzia 2 lotes de tangerinas, 2 lotes de maçãs e 3 lotes de peras. Logo, foram feitos (2t) lotes de tangerinas, (2m) lotes de maçãs e (3p) lotes de peras. Utilizando os dados do problema e as letras representantes das frutas, montamos o sistema:

Substituindo t por 2m nas equações, temos:



Como p = 30, temos que m será:
3m + 30 = 90
3m = 60
m = 20
Como m = 20, temos que t é dado por:
2. 20 = t
t = 40
São 40 dúzias de tangerinas, 20 dúzias de maçãs e 30 dúzias de peras.
 
2. Seja x o número de moedas de R$ 0,10 e y o número de moedas de R$ 0,25. Portanto, se multiplicarmos 0,10 por x e adicionarmos ao produto de 0,25 por y, teremos o total de R$ 15,60, como a equação aponta:
0,10.x + 0,25.y = 15,60 (*)
A segunda informação no texto nos garante que y = 2.x. Resolvendo pelo método da substituição, substituiremos o valor encontrado para y em (*). Sendo assim:
0,10.x + 0,25.(2.x) = 15,60
0.10.x + 0,5 x = 15,60
0,6. x = 15,6
x = 26
Retornando à equação y = 2.x, vamos substituir o valor encontrado para x:
y = 2.x
y = 2.26
y = 52
Portanto, Maria tem 26 moedas de R$ 0,10 e 52 moedas de R$ 0,25. No total, Maria tem 78 moedas. A alternativa correta é a letra c.