Logaritmos podem aparecer na sua prova de 4 maneiras. Você sabe quais são elas?

Cansado de ter medo de logaritmos?

LOGARITMOS! A maioria de vocês, ao ouvir essa palavra, já se arrepia até a espinha, certo? É sempre um motivo de pânico quando nos deparamos com uma questão que tenha o tal temido logaritmo. Você se pergunta sempre onde podemos aplicá-lo, descubra agora!

1. Matemática Financeira

A matemática financeira pode depender muito do uso dos logaritmos, nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível. Observe:

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Aplicando logaritmo

log 1,035t = log 7
t * log 1,035 = log 7

t * 0,0149 = 0,8451

t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicações.

Lembrando que log_ba = c, se b^c = a

Agora ficou tão mais fácil..

2. Crescimento Populacional

Na Geografia, analisamos muito o crescimento de uma determinada população num determinado intervalo de tempo. Para esses cálculos, o entendimento sobre logaritmos também é muito relevante, perceba:

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0
População após um ano = P0 * (1,03) = P1
População após dois anos = P0 * (1,03)2= P2

População após x anos = P0 * (1,03)x = Px

Px = 2*P0
P0 * (1,03)x = 2 * P0
1,03x = 2

Aplicando logaritmo

log 1,03x = log 2
x * log 1,03 = log2
x * 0,0128 = 0,3010
x = 0,3010 / 0,0128
x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

Lembrando que log b.a = log b + log a

E que  log b/a = log b – log a

Que legal!

3. Meia-vida

Na química, estudamos a meia-vida de muitas substâncias, mas você sabia que nesse estudo os logaritmos são muito usados? Perceba:

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:

Q = Q₀ . e^–rt

Em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Q = Q0 . e^–rt
200 = 1000 * e^–0,02t
200/1000 = e^–0,02t
1/5 = e^–0,02t
–0,02t = log_e1/5
–0,02t = log_e 5–1
–0,02t = – log_e 5
–0,02t = –ln5 x (–1)
0,02t = ln5
t = ln5 / 0,02
t = 1,6094 / 0,02
t = 80,47

A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

Sua reação quando percebe que isso pode te ajudar em química, também.

4. Terremotos

Como estamos acompanhando, o Nepal tem passado muitos problemas devido aos terremotos que estão acontecendo por lá. A escala Richter é logarítmica , por meio dela é possível calcular a magnitude (quantidade de energia liberada), epicentro (origem do terremoto) e a amplitude de um terremoto.

(FUVEST 2010) A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H+. Considere as seguintes afirmações:

I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justificase pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas.

II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8.

III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3.

Está correto o que se afirma somente em:

1. I
2. II
3. III
4. I e II
5. I e III

I está certa. Quando existe uma grande variação exponencial da grandeza estudada, é interessante trabalhar com escala logarítmica:

10 → 1

100 → 2

1.000 → 3

10.000 → 4

II está certa.

pH = – log [H+] Uma solução ácida de pH = 4 apresenta concentração de íons H+ = 10–4 mol/L. Uma solução alcalina de pH = 8 apresenta concentração de íons H+ = 10–8 mol/L.

[H+]_{pH = 4} / [H+]_{pH = 8} = 10^-4 / 10^-8 = 10⁴

[H+]_{pH = 4} = 10.000 [H+]_{pH = 8}

III está errada

A magnitude é dada por k.logE

6 = E^6/k

3 = E^3/k

E₆ = E₃²

Ou seja, um abalo de magnitude 6 libera o quadrado da energia de um abalo de magnitude 3

CÉUS!

Os logaritmos deveriam ser encarados como facilitador do seu estudo e não como vilão, como normalmente é. Os vestibulares costumam cobrar os logaritmos contextualizados nesses determinados assuntos, então, vamos estudar que o vestibular está logo aí! 🙂