6 Questões de geometria analítica para aprender e fixar o tema

Definição de Geometria Analítica, Plano Cartesiano, Distância e Reta

Por meio da Geometria Analítica, é possível ter métodos algébricos, estudar as propriedades do ponto, da reta e também das figuras.

No estudo da Geometria Analítica, trabalhamos constantemente com o Plano Cartesiano. Ele, por sua vez, é um objeto matemático plano e composto por duas retas que são perpendiculares. Elas possuem, então, apenas um ponto em comum, que forma um ângulo de 90°.

A distância entre um ponto e uma reta é calculada por meio de um segmento que forma com a reta um ângulo reto (90°). Então, para estabelecer a distância entre os dois, é preciso da equação geral da reta e da coordenada do ponto.

Leia também o resumo sobre geometria analítica

Questões de geometria analítica

Questão 1. (Unirio)

A função linear f(x) = ax + b é representada por uma reta que contém o ponto (2,-1) e que passa pelo vértice da parábola y = 4x – 2x². A função é:

a) f(x) = -3x + 5

b) f(x) = 3x – 7

c) f(x) = 2x – 5

d) f(x) = x – 3

e) f(x) = x/3 – 7/3

Questão 2. (Pucsp)

Os pontos A=(-1; 1), B=(2; -1) e C=(0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. A equação da reta suporte da diagonal BD, desse quadrado, é:

a) x + 5y + 3 = 0.

b) x – 2y – 4 = 0.

c) x – 5y – 7 = 0.

d) x + 2y – 3 = 0.

e) x – 3y – 5 = 0.

Questão 3 (UFPI)

A medida do perímetro do triângulo cujos vértices são os pontos (1,1), (1,3) e (2,3) é:

a) 3 + √5

b) 3 + 2√5

c) 3 + 3√5

d) 3 + 4√5

e) 3 + 5√5

Questão 4 (ESPM-SP)

A figura abaixo representa uma praça de forma triangular, em que o ângulo A é reto.

Duas pessoas percorrem o contorno da praça a partir do ponto A, mas em sentidos contrários, até se encontrarem num ponto P do lado BC. Sabendo que elas percorrem distâncias iguais, podemos concluir que a distância do ponto P ao ponto A em linha reta é de, aproximadamente:

a) 22 m

b) 25 m

c) 27 m

d) 30 m

e) 32 m

Questão 5 (FGV – SP)

Considere os pontos A(1,-2), B(-2,4) e C(3,3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem equação:

a) 2y – x – 3 = 0

b) y – 2x + 3 = 0

c) 2y + x + 3 = 0

d) y + 2x + 9 = 0

e) 2y + x – 9 = 0

Questão 6 (Enem, 2018)

Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30 m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada. Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é:

GABARITO

1. A

Confira a solução passo-a-passo:

Se a equação passa pelo ponto (2,-1) do plano cartesiano, -1 = 2a + b .: b = -1 -2a. O vértice da parábola 4x – 2x² tem a seguinte configuração:

}=\frac{-4}{-4}\Leftrightarrow xv=1″)](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=xv=-&space;\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2&space;\cdot&space;(-2)&space;}=\frac{-4}{-4}\Leftrightarrow&space;x_v=1)

}=\frac{-16}{-8}=2 “yv=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{-4^2+4.(-2).0}{4.(-2)}=\frac{-16}{-8}=2″)](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=yv=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{-4^2+4.(-2).0}{4.(-2)}=\frac{-16}{-8}=2)

Logo, a função também passa pelo ponto (1,2) do plano cartesiano. E, por isso, 2 = 1a + b, mas, b = -1 -2a, portanto, temos que 2 = a -1 -2a ⇒ 2 + 1 = -a ⇒ a = -3. Como b = -1 -2a, b = -1 -2.(-3) = -1 + 6 ⇒ b = 5. Assim, y = -3x + 5.

2. C

Confira a solução passo-a-passo:

No quadrado, as diagonais são perpendiculares, desta maneira, BD⊥AC. Sendo r a reta suporte de AC, sabemos que r: y = ax + b, A (-1,1) e C (0,-4). Logo, -4 = 0a + b ⇔ b = -4 e 1 = -a + b ⇔ a = b – 1 = -4 – 1 ⇔ a = -5 e, por isso, r: y = -5x – 4. Sendo s a reta suporte de BD, sabemos que ms.mr = -1 ⇒ ms.(-5) =-1 ⇔ ms = 1/5. Por conseguinte, s: y = x/5 + b, mas B (2,-1) é um ponto de s, então: -1 = 2/5 + b ⇒ b = -1 – 2/5 = (-5-2)/5 ⇔ b = -7/5 e, enfim, s: y = x/5 – 7/5 ⇔ s: x – 5y -7 = 0.

Agora que você já sabe tudo sobre Geometria Analítica, Plano Cartesiano, Distância e Reta, continue o aprendizado! Veja 3 questões de Geometria Analítica que podem cair no vestibular!

3. A

Confira a solução passo-a-passo:

Para encontrarmos esse perímetro, devemos apenas calcular a distância entre os vértices desse triângulo e somar esses valores. Assim, para o lado AB, temos:

AB² = (1 – 1)² + (1 – 3)²
AB² = 4
AB = 2

Para o lado AC, temos:
AC² = (1 – 2)² + (1 – 3)²
AC² = 1 + 4
AC = √5

Para o lado BC, temos:
BC² = ( 1 – 2 )² + ( 3 – 3 )²
BC² = 1
BC = 1

AB + AC + BC =
2 + √5 + 1 =
3 + √5

4. C

5. A

A equação de uma reta é dada por:

y = ax + b

Vamos descobrir a equação da reta que passa pelos pontos A e B resolvendo o sistema:
-2 = a + b
4 = -2a + b
-4 = 2a + 2b
3b = 0
b = 0
a = -2

Assim, o coeficiente angular dessa reta é:
m1 = -2

Para encontrarmos a equação da altura HC, de coeficiente angular m2 e que é perpendicular a AB temos:
coeficiente angular
m1*m2 = -1
-2*m2 = -1
m2 = 1/2

y = x/2 + b

Como o ponto C faz parte dessa reta, temos:
ponto C(3,3)
3 = 3/2 + b
6 = 3 + 2b
2b = 3
b = 3/2

Logo, a equação dessa reta é dada por:
y = (x + 3)/2

com equação geral:
2y – x – 3 = 0

6. B

Aproveite para ver o vídeo do nosso canal sobre geometria analítica

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