O que são os juros compostos?
O uso da matemática financeira faz parte da vida humana desde que o homem percebeu a existência da relação entre o dinheiro e o tempo. Nos juros simples, nós vimos que temos um valor sempre constante em cima do capital inicial a cada determinado intervalo de tempo.
Os juros compostos diferem dos juros simples, pois são calculados sobre o montante obtido no período anterior. Somente no primeiro período é que os juros são calculados sobre o capital inicial, ou seja, os juros compostos são um regime de juros sobre juros. Assim, o crescimento é muito mais rápido do que no regime de juros simples.
Como funciona o regime de juros sobre juros?
No regime de juros compostos, como dito acima, calculamos juros em cima de juros. Ou seja: a cada intervalo de tempo, são calculados novos juros, que são somados ao capital inicial e, em cima desse novo valor, calculamos novamente novos juros. Por exemplo:
Um capital de R$ 5000,00, aplicado a uma taxa de juros compostos de 10% a.m (ao mês) por um período de três meses renderá quanto de juros?
Assim como nos juros simples, após o primeiro mês, temos que os juros serão de:
10% de 5.000 = 500. Assim, teríamos um montante de M = 5.000 + 500 = 5.500
Porém, nos juros simples, essa taxa de juros continuaria sendo 500 independente da quantidade de meses. Já nos juros compostos, após o segundo mês, é calculado juros em cima do valor anterior.
10% de 5.500 = 550. Assim, teríamos um montante de M = 5.500 + 550 = 6.050
Seguindo a mesma lógica, no terceiro mês, teríamos:
10% de 6.050 = 605. Assim, o montante seria M = 6.050+ 605 = 6.655
Portanto, como tínhamos um capital de 5.000 e terminamos com um montante de 6.655, vimos que o rendimento foi de 1.655 reais
Fórmula de juros compostos
Assim como nos juros simples, nos juros compostos também temos uma fórmula para calcularmos a taxa de um regime. Para isso, usamos a fórmula:
M = C . (1 + i)t
Em que M é o montante, C é o capital inicial aplicado, i é a taxa de juros e t é o tempo.
Resolvamos o mesmo exemplo acima, porém usando a fórmula:
M = 5.000.( 1 + 10/100)3
M = 5.000.( 1,1)³
M = 5.000 . 1,331
M = 6.655
Como havíamos aplicado 5.000, então, essa aplicação rendeu 1.655 reais de juros.
Juros compostos e função exponencial
A principal característica de uma função exponencial é o aparecimento da variável no expoente. Nos juros compostos, a variável é o tempo, pois o valor dos juros gerados pela aplicação depende do tempo em que ela é aplicada. Assim, podemos dizer que os juros compostos caracterizam um crescimento exponencial na variável “t”, que é o tempo.
Juros compostos e progressão geométrica
Uma progressão geométrica, ou P.G., poderia ser definida como uma sequência de números reais obtida ao multiplicar o número anterior por uma quantidade fixa q, que vamos chamar de razão. Deve-se ressaltar que esta regra não vale apenas para o primeiro número da sucessão. Podemos analisar os juros compostos como uma progressão geométrica.
Observe novamente:
M = C . (1 + i)t
Perceba que a cada mês passado, o capital é multiplicado por uma razão de (1 + i), assim caracterizando a PG.
Perceba que o termo geral de uma PG é exatamente a fórmula de juros compostos escrita com outras letras, olhando para outras grandezas, mas, matematicamente, é a mesma coisa:
An = A1 .qn-1
Exercícios
1. Numa aplicação financeira, chama-se MONTANTE a soma da quantia aplicada com os juros acumulados até aquela data. Suponha uma aplicação de R$ 50.000,00 a juros compostos, à taxa de 3% ao mês. Nesse caso, os montantes, em reais, no início de cada período de um mês, formam uma progressão geométrica em que o primeiro termo é 50000 e a razão é 1,03.
Os juros acumulados ao completar 10 meses de aplicação são: (Dado: 1,0310 = 1,3439)
a) R$ 10 300,00
b) R$ 15 000,00
c) R$ 17 195,00
d) R$ 21 847,00
e) R$ 134 390,00
2. Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?
a) R$ R$ 8.369,33
b) R$ 15.300,00
c) R$ 9.845,45
d) R$ 21 847,00
Gabarito
1.
Resolução 1:
M = C.(1+i)n
M = 50000.(1+0,03)10
M = 50000.1,3439
M = 67195,00
J = M – C = 67195 – 50000 = R$ 17.195,00
Resolução 2:
Em forma de P.G., ficaria assim:
( 50000 , 50000(1,03) , 50000(1,03)² , … ,50000(1,03)10 )
a1 = 50000
q = 1,03
n = 11
an = a1.qn-1
an = 50000.(1,03)11-1 = 50000.(1,0310)= 50000.(1,3439) = 67195,00 = Montante
Juros = Montante – Capital = 67195 – 50000 = R$ 17.195,00
2.
C: R$ 7.000,00
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses
M = C * (1 + i)t
M = 7000 * (1 + 0,015)12
M = 7000 * (1,015)12
M = 7000 * 1,195618
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.
