Leia o resumo “O que é Trigonometria?” e resolva os exercícios abaixo.
1. (U. F. Viçosa – MG) Na figura abaixo, os triângulos são retângulos, com hipotenusa comum AC, sendo ABC um triângulo isósceles com catetos medindo 4 cm.
Se o cateto AD do triângulo ADC mede 2 cm, então o valor de tg x é:
a)
b)
c)
d)
e)
2. (Cesgranrio – RJ) Na figura abaixo, os pontos B e C pertencem à reta r e os segmentos AB e CD são paralelos. Sabe-se ainda que a distância entre os pontos B e C é igualà metade da distância entre A e D, e a medida do ângulo ACD é 45°.
O ângulo CAD mede:
a) 115°
b) 105°
c) 100°
d) 90°
e) 75°
3. (U.F. Ouro Preto – MG) Um observador vê um prédio segundo um ângulo α. Após caminhar uma distância d em direção ao prédio, ele passa a vê-lo segundo um ângulo β.
Podemos afirmar que a altura h do prédio é:
a)
b)
c)
GABARITO
1. E
2. B
3. A
Solução Passo-a-Passo:
1. E
Primeiro Passo: Chamar AC de y e descobrir o valor de y através das informações dadas.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC:
Segundo Passo: Sabendo o valor de y, descobrir o valor do cateto CD=z. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACD:
^2\Rightarrow z^2+4=32\Rightarrow z^2=32-4\Rightarrow z^2=28\Rightarrow z=\sqrt{28}\Rightarrow z=2\sqrt7")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=z^2+2^2=y^2\Rightarrow&space;z^2+4=(4\sqrt2)^2\Rightarrow&space;z^2+4=32\Rightarrow&space;z^2=32-4\Rightarrow&space;z^2=28\Rightarrow&space;z=\sqrt{28}\Rightarrow&space;z=2\sqrt7)
Terceiro Passo: Sabendo os valores dos catetos do triângulo ACD, descobrir o valor da tangente de x.
Gabarito: E
2. B
Primeiro Passo: Chamar BC de x, logo, AD vale 2x. Traçar uma perpendicular a CD, em E, que passe por A. Chamar DE de y. Como o ângulo ACE mede 45°, o triângulo AEC é isósceles, isto é, EAC=ACE=45°.
Segundo Passo: Calcular o cosseno do ângulo DAE que chamaremos de α.
Terceiro Passo: Sabendo que CAE = 45° e EAD = 60°, encontrar o valor de CAD. CAD = CAE + EAD =45° + 60°. Logo, CAD = 105°.
Gabarito: B
3. Primeiro Passo: Calcular a tangente de α e β em função de h.
Segundo Passo: Substituir o valor de x em função de h e da tangente de β na tangente de α e encontrar h em função de α, β e d.
+d} = \frac{h}{\frac{h}{tg:\beta}+\frac{dtg:\beta}{tg:\beta}}=\frac{h}{\frac{h+dtg:\beta}{tg:\beta}}")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=tg&space;\:&space;\alpha=\frac{h}{x+d};&space;\:&space;x=\frac{h}{tg\:\beta}\Rightarrow&space;tg\:\alpha&space;=&space;\frac&space;{h}{\left(\frac{h}{tg\:\beta}&space;\right&space;)+d}&space;=&space;\frac{h}{\frac{h}{tg\:\beta}+\frac{dtg\:\beta}{tg\:\beta}}=\frac{h}{\frac{h+dtg\:\beta}{tg\:\beta}})
=htg:\bet\Rightarrow htg:\alpha+dtg:\alpha.tg:\beta= htg:\beta")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=tg\:\alpha.&space;\left(h+dtg\:\beta&space;\right&space;)=htg\:\bet\Rightarrow&space;htg\:\alpha+dtg\:\alpha.tg\:\beta=&space;htg\:\beta)
=-dtg:\alpha.tg:\beta")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\Rightarrow&space;htg\:\alpha&space;-&space;htg\:\beta=-dtg\alpha.tg\:\beta&space;\Rightarrow&space;h.\left(tg\:\alpha&space;-&space;tg\:\beta&space;\right&space;)=-dtg\:\alpha.tg\:\beta)
Gabarito: A
