Dados um ponto O e um segmento de medida r, chamamos de esfera de centro O e raio r o conjunto dos pontos P do espaço, tal que a distância OP seja menor ou igual a r.
Definição.
Secção
Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Se o plano secante passa pelo centro, temos a secção máxima da mesma, isto é, o círculo máximo. Sendo r o raio e d a distância do centro ao plano secante e s o raio da secção, vale a relação:
Secção.
Elementos
Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos:
– pólos: interseções da superfície com o eixo;
– equador: secção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície;
– paralelo: secção (circunferência) perpendicular ao eixo e “paralela” ao equador.
– meridiano: secção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.
Elementos.
Superfície
Denominamos Superfície da Esfera de centro O e raio r o conjunto de pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual a r. Sua área é indicada por As e é dada por 4πr².
Distância Polar
É a distância de um ponto qualquer de um paralelo a um polo, portanto, cada ponto A da esfera tem duas distâncias polares P1A e P2A.
Esfera – Distância Polar.
Volume
Considerando uma esfer,a de raio r e um cilindro equilátero de raio da base r, altura 2r e ponto médio do eixo S, tomemos dois cones tendo como bases as bases do cilindro e vértice S. A reunião desses dois cones é chamada de clépsidra. O sólido que está dentro do cilindro e fora da clépsidra, chamamos de anticlépsidra. Como a área da coroa circular é igual a área da secção esférica em qualquer corte feio nessas figuras, através do princípio de Cavalieri, temos que o volume da esfera é dado por V = 4πr³/3 .
Volume.
Fontes de Pesquisa:
Dolce, Osvaldo e Pompeo, José Nicolau; Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 10
Sexta Edição, São Paulo: Atual, 2005.
Exercícios
1. (Unitau) Aumentando em 10% o raio de uma esfera a sua superfície aumentará:
a) 21 %.
b) 11 %.
c) 31 %.
d) 24 %.
e) 30 %.
2. (Ufrrj) Sendo S uma esfera de raio r, o valor pelo qual deveríamos multiplicar r, a fim de obtermos uma nova esfera S’, cujo volume seja o dobro do volume de S, é:
a)
b)
c) 2
d) 3
e)
GABARITO
1. A
2. A
