Conheça as relações métricas no triângulo retângulo!

Conheça mais sobre o triângulo retângulo e as relações que podemos ter entre seus lados e segmentos e chegaremos a 5 relações métricas. Confira!

Trabalharemos usando como referência o triângulo ABC abaixo:

Com “a” sendo a hipotenusa, “b” e “c” sendo os catetos, “h” sendo a altura e “m” e “n” sendo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

1) a.h = b.c

Começaremos pela semelhança dos triângulos ABC e HBA.

∆ABC ~ ∆HBA

c/h = a/b

Multiplicando cruzado, temos:

a.h = b.c

2) b² = am

A partir da semelhança entre os triângulos ABC e HAC, conseguimos a seguinte relação:

∆ABC ~ ∆HAC

b/m = a/b

Multiplicando cruzado, temos:

b² = a.m

Ou seja, o quadrado de um dos catetos é igual ao produto da hipotenusa por sua projeção. Isso também valerá para o outro cateto como veremos a seguir.

3) c² = a.n

Agora, faremos a semelhança entre os triângulos ABC e o triângulo HBA, assim, temos a seguinte relação:

∆ABC ~ ∆HBA

c/n = a/c

Multiplicando cruzado, temos:

c² = a.n

4) O teorema de Pitágoras

Sim, o Teorema de Pitágoras também é uma relação métrica. E ele aparece a partir dessas duas primeiras relações, perceba:

b² = a.m

c² = a.n

Somando as duas equações, temos:

c² + b² = a.m + a.n

Colocando “a” em evidência, temos:

c² + b² = a.(m+n)

Porém, m+n = a, observe a primeira figura! Assim, temos o famoso:

c² + b² = a²

5) h² = m.n

A última relação é proveniente da semelhança dos triângulos HBA e HAC, assim, temos:

∆HBA ~ ∆HAC

h/n = m/h

Multiplicando cruzado, temos:

h² = m.n

Exercícios

1) Em um mapa, as cidades A, B e C são os vértices de um triângulo retângulo e o ângulo reto está em A. A estrada AB tem 80 km e a estrada BC tem 100 km. Um rio impede a construção de uma estrada que ligue diretamente a cidade A com a cidade C. Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo de A e perpendicular à estrada BC, para que ela seja a mais curta possível. Qual será o comprimento da estrada que será construída?

2) (UERJ) Na figura a seguir, estão representados o triângulo retângulo ABC e os retângulos semelhantes I, II e III, de alturas h₁, h₂ e h₃ respectivamente proporcionais às bases , e .

Se  = 4 m e = 3 m, a razão  é igual a:

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

3) (UERJ)Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas varetas, linha e papel.

As varetas estão representadas pelos segmentos e . A linha utilizada liga as extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste a área total da pipa.

Os segmentos  e  são perpendiculares em E, e os ângulos e são retos.

Se os segmentos  e medem, respectivamente, 18 cm e 32 cm, determine  o comprimento total da linha, representada por + + + .

Gabarito

1) 48 km

2) A

3) 140 cm