Aprenda as principais características das Pirâmides, conheça as fórmulas que são importantes sobre essa figura geométrica e arrase na sua prova do vestibular!
Dados um polígono convexo ABC…MN situado num plano α e um ponto V fora de α, denominamos pirâmide a reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do polígono. V é o vértice da pirâmide e o polígono ABC…MN é a base da mesma.
Pirâmide – Definição.
Elementos
A pirâmide possui 1 base – secção com o plano α citado acima -, n faces laterais triangulares, n + 1 faces, n arestas laterais, 2n arestas, 2n diedros, n + 1 vértices, n + 1 ângulos poliédricos e n triedros.
Elementos da Pirâmide.
Lembrando que para a pirâmide é válida a relação de Euler:
V – A + F = (n + 1) – 2n + (n + 1) = 2 ⇒ V – A + F = 2
Altura de uma Pirâmide
A altura h de uma pirâmide é a distância entre o vértice e o plano da base.
Superfícies
Superfície Lateral é a reunião das laterais da pirâmide, sua área é denominada Al e, se ela for regular, sua área é dada por pm’, onde p é o semi-perímetro da base e m’ é o apótema da pirâmide. A Superfície Total é a reunião da superfície lateral com a base, sua área é indicada por At e, se ela for regular, sua área é dada por p.(m + m’), sendo p o semi-perímetro da base, m’ o apótema da pirâmide e m o apótema da base.
Natureza de uma Pirâmide
Uma pirâmide será triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, etc. conforme sua base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, um hexágono, etc.
Pirâmide Regular
Uma pirâmide é regular quando sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. Nela, as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.
Apótema da Pirâmide
Chamamos de apótema da pirâmide regular a altura relativa ao lado da base de uma face lateral.
Apótema da Pirâmide.
Classificação
Uma pirâmide é dita reta quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. Caso contrário, ela é dita oblíqua.
Classificação das Pirâmides.
Volume do Tetraedro
Um tetraedro de base B e altura h tem volume V = Bh/3.
Volume da Pirâmide
Seja B a área da base e h a medida da altura de uma pirâmide qualquer, ela é a soma de (n – 2) tetaedros e, por isso, seu volume é dado por:
Volume da Pirâmide.
V = Vt1 + Vt2 + Vt3 + … + Vt(n-2)
V = B1h/3 + B2h/3 + B3h/3 + … + B(n-2)h/3
V = h/3.(B1 + B2 + B3 + … + B(n-2))
V = Bh/3
Fontes de Pesquisa:
Dolce, Osvaldo e Pompeo, José Nicolau; Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 10
Sexta Edição, São Paulo: Atual, 2005.
Exercícios
1. (Pucsp) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8√2cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem 17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:
a) 520.
b) 640.
c) 680.
d) 750.
e) 780.
2. (Mackenzie) A soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide é 18πrd. Então o número de lados do polígono da base da pirâmide é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
Gabarito
1. B
2. C
