Arranjo, combinação e permutações são conceitos fundamentais em matemática e são frequentemente utilizados em diversas áreas, como estatística, probabilidade e teoria dos conjuntos. Esses conceitos são usados para calcular o número de maneiras diferentes que um conjunto de objetos pode ser organizado ou selecionado. Embora possam parecer semelhantes, cada um desses conceitos tem suas próprias regras e fórmulas específicas.
Neste texto, vamos explorar cada um desses conceitos em detalhes e entender como eles são aplicados em diferentes situações.
Como a Análise Combinatória é dividida
Por ser um dos tópicos em que a matemática é dividida, aAnálise Combinatória estuda os critérios para a representação da quantidade de possibilidades de um agrupamento sem a necessidade de desenvolvê-los.
Veja como a Análise Combinatória é dividida:
Permutações
Sendo M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a1, a2, …, am}, chamamos de permutação dos m elementos a todo arranjo em que r = m. Portanto, Pm=m.(m-1).(m-2)…..[m-(m-1)].
Fatorial
Para simplificarmos as fórmulas de arranjos e permutações, além de outras que estudaremos futuramente, vamos definir o símbolo fatorial “!”.
Seja m um número natural maior ou igual a 2, definimos por m! o produto dos números consecutivos em ordem decrescente de m até 1, isto é: m! = m.(m-1).(m-2)…..3.2.1. Para m menor que 2, temos que 0! = 1 e 1! = 1.
Combinações
A Combinação está relacionada aos verbos escolher e selecionar, é um conjunto, logo a ordem não importa.
“Seja M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a1, a2, a3, …, am}. Chamamos de combinações dos m elementos, tomados r a r, aos subconjuntos de M constituídos de r elementos.”
O número de combinações é dado por :
Permutações com elementos repetidos
A Permutação está relacionada aos verbos trocar e ordenar, é uma sequência, portanto a ordem importa e sequências iguais não devem ser contadas mais de uma vez, exemplo, a palavra Ana: ao permutarmos as duas letras “a”‘s, continuamos com anA, logo, consideramos que a sequência é a mesma.
Toda vez que tivermos números repetidos, devemos dividir a quantidade de permutações pelo fatorial da quantidade de elementos repetidos. Ou seja, sendo um conjunto de n elementos, dos quais n1 são iguais a a1, n2 são iguais a a2, …, nr são iguais a ar,.
Arranjo
Arranjo é um conceito da análise combinatória que se refere ao número de maneiras diferentes que um conjunto de objetos pode ser organizado em grupos ordenados. Em outras palavras, o arranjo é uma permutação parcial, ou seja, uma seleção de objetos em que a ordem é importante. O arranjo é utilizado em situações em que é necessário escolher um número específico de elementos de um conjunto e organizá-los em uma ordem específica.
Por exemplo, o número de maneiras diferentes que três pessoas podem ser escolhidas para ocupar o primeiro, segundo e terceiro lugares em uma competição.
A fórmula para calcular o número de arranjos possíveis é dada por A = n!/(n-k)!, onde n é o número total de objetos e k é o número de objetos selecionados. O arranjo é um dos três tipos de agrupamentos estudados na análise combinatória, juntamente com a permutação e a combinação.
Veja também o conteúdo sobreanálise combinatória e probabilidade
Qual a diferença entre Arranjo, combinação e permutação?
Arranjo, combinação e permutações são conceitos fundamentais da análise combinatória e são utilizados para calcular o número de maneiras diferentes que um conjunto de objetos pode ser organizado ou selecionado. Cada um desses conceitos é empregado em uma situação específica e possui métodos específicos para ser calculado. A diferença entre eles é a seguinte:
- Permutação: é o agrupamento ordenado de todos os elementos de um conjunto. A permutação é utilizada quando todos os elementos do conjunto são utilizados e a ordem é importante.
- Arranjo: é o agrupamento ordenado formado por parte dos elementos de um conjunto. O arranjo é utilizado quando é necessário escolher um número específico de elementos de um conjunto e organizá-los em uma ordem específica.
- Combinação: é o agrupamento não ordenado de todos os elementos de um conjunto. A combinação é utilizada quando todos os elementos do conjunto são utilizados e a ordem não é importante.
Para identificar uma questão de cada tipo, é importante prestar atenção nas informações fornecidas no enunciado. Algumas dicas são:
- Permutação: quando todos os elementos do conjunto são utilizados e a ordem é importante. Exemplo: número de maneiras diferentes que três pessoas podem ser escolhidas para ocupar o primeiro, segundo e terceiro lugares em uma competição.
- Arranjo: quando é necessário escolher um número específico de elementos de um conjunto e organizá-los em uma ordem específica. Exemplo: número de maneiras diferentes que três pessoas podem ser escolhidas para ocupar o primeiro, segundo e terceiro lugares em uma competição, mas agora apenas duas pessoas serão escolhidas.
- Combinação: quando todos os elementos do conjunto são utilizados e a ordem não é importante. Exemplo: número de maneiras diferentes que três pessoas podem ser escolhidas para formar uma comissão a partir de um grupo de cinco pessoas.
Assista também o vídeo do nosso canal sobre análise combinatória
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