Trigonometria: Operações com Arcos

Atualizado em 04/08/2016

Vimos no resumo passado os conceitos básicos da trigonometria, agora vamos entender os valores dos senos e cossenos dos ângulos notáveis e realizar um estudo mais completo através do ciclo trigonométrico.

Arcos de Circunferência

Consideramos uma circunferência de centro O e um ângulo central AÔB, sendo A e B pontos que pertencem tanto aos lados do ângulo como à circunferência. Sendo M um ponto entre A e B pertencente ao ângulo AÔB e M’ um ponto entre A e B não pertencente a este ângulo como podemos ver na figura abaixo:

Dizemos que a circunferência fica dividida em duas partes, cada uma é um arco de circunferência:

$O \: arco \: \widehat{AMB} \: e \: o \: arco \: \widehat{AM'B}.$

(A e B são as extremidades dos arcos).

OBS1: Se A e B são extremidades de um diâmetro, dizemos que os arcos formados são semicircunferências.
OBS2: Se A e B são coincidem, teremos o arco nulo (um ponto) e o arco de uma volta (a circunferência).

Medidas de Arcos

Para compararmos tamanhos de arcos precisamos estabelecer um método que nos permita dizer qual deles é maior ou se são iguais. Sendo u um arco unitário de mesmo raio que

$\widehat{AB}$

, a medida deste será expressa através do número de vezes que o arco u cabe nele. No exemplo abaixo, ele mede 7.arco u.

Unidades

Para evitar a confusão caso cada um escolhesse uma unidade u distinta para medir o mesmo arco, limitamos as unidades a duas somente: o grau e o radiano.

$O \, \: \: Grau, \; \: de \, \: s\acute{i}mbolo \, \: ^{\circ}, \: \, \acute{e} \, \: um \:\, arco \, \: unit\acute{a}rio \, \: correspondente \, \: a \, \: \frac{1}{360} \, \: da \, \: circunfer\hat{e}ncia.$ $O \, \: \: Radiano, \; \: de \, \: s\acute{i}mbolo \, \: rad, \: \, \acute{e} \, \: um \:\, arco \, \: unit\acute{a}rio \, \: cujo \, \: comprimento \, \: \acute{e} \, \: igual \, ao \, raio \, da \, \: circunfer\hat{e}ncia.$ $Resumindo, \, 360^{\circ}\, equivalem \, a \, 2\pi rad, \, ou \, ainda \, 180^{\circ}\leftrightarrow \pi rad.$

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Circunferência Trigonométrica

É aquela de raio r = 1, centro O e comprimento 2π em que associamos a cada número real x um único ponto P da seguinte forma: se x = 0, então P coincide com A; se x > 0, traçamos um percurso a partir de A no sentido anti-horário de comprimeto x com ponto final P; e se x < 0, traçamos um percurso a partir de A no sentido horário de comprimento |x| com ponto final P, como podemos ver na figura abaixo.

Esta circunferência também é conhecida como Ciclo Trigonométrico.

Razões Trigonométricas na Circunferência

Na circunferência abaixo, o eixo c é o dos cossenos, o eixo s é o dos senos, o eixo t é o das tangentes e o eixo t’ é o das cotangentes:

Dado o número real x ∈ [0, 2π] de imagem F no ciclo, denominamos seno de x a ordenada OG do ponto F em relação ao sistema cOs; e cosseno de x a abcissa OC do ponto F em relação ao sistema cOs.

Sendo

$x \neq \frac{\pi}{2}\: e \: x \neq \frac{3\pi}{2}$

, denominamos tangente de x a medida do segmento AE. E sendo x ∉ {0, π , 2π}, denominamos cotagente de x a medida do segmento BD.

Sendo

$x \neq \frac{\pi}{2}\: e \: x \neq \frac{3\pi}{2}$

, denominamos secante de x a abcissa OI do ponto I. E sendo x ∉ {0, π , 2π}, denominamos cossecante de x a ordenada OH do ponto H.

Relações Fundamentais

$sen^2+cos^2=1$ $tgx=\frac{senx}{cosx}$ $cotgx = \frac{cosx}{senx}=\frac{1}{tgx}$ $secx=\frac{1}{cosx}$ $cossecx=\frac{1}{senx}$ $tg^2x+1=sec^2x "tg^2x+1=sec^2x"$ $cotg^2x+1=cossec^2x "cotg^2x+1=cossec^2x"$ $cos^2x=\frac{1}{1+tg^2x} "cos^2x=\frac{1}{1+tg^2x}"$ $sen^2x=\frac{1}{1+cotg^2x}=\frac{tg^2x}{1+tg^2x} "sen^2x=\frac{1}{1+cotg^2x}=\frac{tg^2x}{1+tg^2x}"$

Fontes de Pesquisa:

Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 3; Iezzi, Gelson.
Oitava Edição – São Paulo: Atual, 2004.

Exercícios

1. (Fuvest – SP) A tangente do ângulo 2x é dada em função da tangente de x pela seguinte fórmula:

$tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^2x} "tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^2x}"$

Calcule um valor aproximado da tangente do ângulo 22°30′.
a) 0,22
b) 0,41
c) 0,50
d) 0,72
e) 1,00

2. (UF-RN) Na representação a seguir, EF é o diâmetro da circunferência; EG e FG são catetos do triângulo retângulo FGE, inscrito na circunferência trigonométrica; e FG é perpendicular a Ox para qualquer α. O raio da circunferência é unitário.