Descubra as principais características das figuras geométricas denominadas Prismas e saiba como elas podem cair no seu vestibular!
Dados um polígono convexo ABCD…MN situado num plano α e um segmento de reta PQ, tal que sua reta suporte intercepta o plano α, denominamos prisma (convexo) a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ com uma extremidade nos pontos do polígono dado.
Prisma – Definição.
Elementos
O Prisma possui 2 bases congruentes, n faces laterais – paralelogramos -, n arestas laterais, n + 2 faces, 3n arestas, 3n diedros, 2n vértices e 2n triedros.
Prisma Hexagonal
Altura de um Prisma
A altura de um prisma é a distância h entre os planos das bases. É válida a relação de Euler para os prismas, note:
V – A + F = 2 ⇒ 2n – 3n + (n + 2) = – n + n + 2 = 2.
Secções
Secção de um prisma é a interseção dele com um plano que intercepta todas as suas arestas laterais, isto é, um polígono com vértices em cada uma das arestas laterais. Quando a secção é reta ou normal, quer dizer que o plano é perpendicular às arestas laterais.
Secção Normal.
Superfícies
Superfície lateral é a união de todas as faces laterais. A área desta superfície é chamada de área lateral e é igual à soma das áreas de todas as faces, representada por Al. Superfície total é a reunião da superfície lateral com as bases. A área desta superfície é chamada de área total e é igual à soma das áreas das bases com Al, representada por At.
Classificação e Natureza dos Prismas
Um prisma será reto se suas arestas laterais forem perpendiculares aos planos das bases e, consequentemente, suas faces laterais forem retângulos. Se o prisma for reto e suas bases forem polígonos regulares, diremos que ele é um prisma regular. E o prisma será oblíquo quando suas arestas forem oblíquas aos planos das bases.
Um prisma será triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, etc., conforme a sua base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, um hexágono, etc.
Classificação dos Prismas.
Paralelepípedos e Romboedros
i) Paralelepípedo é um prisma cuja as bases são paralelogramos. Sua superfície total é a união de seis paralelogram0s.
ii) Paralelepípedo reto é aquele cuja as bases são paralelogramos e as faces laterais são retângulos. Sua superfície total é a reunião de dois paralelogramos e quatro retângulos.
iii) Paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro é um prisma reto de bases retangulares. Sua superfície total é a união de seis retângulos.
Paralelepípedos.
iv) Cubo é um ortoedro cujas as arestas são congruentes.
v) Romboedro é um paralelepípedo que possui doze arestas congruentes entre si e a reunião de seis losangos como superfície total.
vi) Romboedro reto é aquele que têm quadrados como faces laterais e sua superfície é dada pela união de dois losangos e quatro quadrados.
vii) Romboedro reto-retângulo ou cubo é um romboedro reto de bases quadradas, sua superfície total é dada pela reunião de seis quadrados.
Romboedros.
Diagonal, Área Total e Volume do Cubo
Dado um cubo de aresta a, sua diagonal d vale a√3, sua área total S vale 6a² e seu volume vale a³.
Diagonal e Área Total do Cubo.
Diagonal, Área Total e Volume do Ortoedro
Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, as diagonais das faces valem f1 = √(a² + b²), f2 = √(a² + c²) e f3 = √ (b² + c²), a diagonal do ortoedro vale d = √(a² + b² + c²), sua área total S = 2.(ab + ac + bc) e seu volume é dado pela expressão V = a.b.c.
Diagonal e Área Total do Ortoedro.
Volume d0 Prisma
O volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura, isto é, pelo produto da área da secção reta pela medida da aresta lateral.
Volume do Prisma.
Princípio de Cavalieri
“Dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado plano, determina superfíceis de áreas iguais (superfícies equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes).”
Princípio de Cavalieri.
Fontes de Pesquisa:
Dolce, Osvaldo e Pompeo, José Nicolau; Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 10
Sexta Edição, São Paulo: Atual, 2005.
Exercícios
1. (Ita) As dimensões x, y, z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 694cm², então o volume deste paralelepípedo, em cm³, é igual:
a) 1.200
b) 936
c) 1.155
d) 728
e) 834
2. (Ufpe) Dois cubos C1 e C2 são tais que a aresta de C1 é igual à diagonal de C2. Se V1 e V2‚ são, respectivamente, os volumes dos cubos de C1 e C2, então, a razão V1/V2‚ é igual a:
a) ³√3
b) √27
c) 1/√27
d) 1/³√3
e) ³√9
GABARITO
1. C
2. B
