No Ensino Fundamental, aprendemos a fatorar números. Qualquer número tem uma decomposição única em fatores primos. Depois, aprendemos, a partir da fatoração, a calcular o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números. Agora, damos um passo além: iremos aprender a fatorar expressões.
Mais do que um tema matemático, fatoração é uma ferramenta poderosa usada para resolver diversos tipos de questões. Ou seja, dificilmente iremos encontrar uma questão sobre fatoração propriamente dita, entretanto, a fatoração se mostra presente em questões de funções, geometria plana, geometria espacial, enfim, em todas as áreas da matemática. Vamos lá?
O que é fatoração?
Quando estamos fatorando números, sabemos que devemos transformá-los em uma multiplicação de fatores primos. Ou seja, ao fatorar o número 18, por exemplo, encontramos 18 = 2 . 3². Entretanto, o que é, realmente, fatorar expressões? Fatorar uma expressão diz respeito à transformação em fatores de um produto.
Por exemplo:
- A forma fatorada de é x² + 2x + 1 é ( x + 1 )² , uma vez que transformamos uma expressão contendo apenas somas em uma outra contendo produtos.
- A forma fatorada de x² – 5x + 6 é (x – 2)(x – 3).
Fatorar muitas vezes é útil para simplificações algébricas.
Por exemplo:
Então, veja que uma expressão que, a princípio, parece ser muito complicada, como 
, acaba se tornando outra mais simples, como (x + 1).
Tá bom, entendi, mas como aprender a fatorar? Vamos aprender duas técnicas de fatoração!
Fator comum em evidência
Uma técnica muito útil é a de fatorar pelo fator comum em evidência. Veja esse exemplo:
- 2x + 2y
Note que 2 é fator comum em ambos os termos, logo, podemos reescrever 2x + 2y como 2 (x + y). Caso efetue a distributiva, chega-se ao termo original 2x + 2y. Essa, aliás, é uma dica muito boa! Ficou com dúvida se colocou o fator correto em evidência? Faça a prova real, aplique a distributiva para se certificar de que a fatoração foi feita corretamente.
Alguns exemplos de fatoração pelo fator comum em evidência:
- a + ab = a (1 + b). Nesse caso, o fator comum é o a.
- 10x – 20y = 10 (x – 2y). Nesse caso, o fator comum é o 10, que é o maior divisor comum entre 10 e 20.
- x³ + 3x = x (x² + 3). Nesse caso, o fator comum é o x.
- x³y² – xy² + xy. Repare que o fator comum é xy, pois, reescrevendo os termos, temos que:
x³y² = x . y . x² . y
xy² = x . y . y
Dessa forma, x³y² – xy² + xy = xy (x²y – y + 1)
Agrupamento
Essa outra técnica é um pouco mais difícil. Ela é usada quando o fator comum é um grupo comum.
Por exemplo:
- 2x + 2 + ax + a
Nesse caso, podemos fatorar pelo fator comum ficando com 2 (x + 1) + a (x+1). Note que (x+1) é um fator comum, logo, usando o agrupamento: (x+1)(2+a) . Efetuando a distributiva, voltamos ao 2x + 2 + ax + a.
Outros exemplos:
x² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + a)(x + b)
x³ – x² + x – 1 = x² (x – 1) + 1 (x – 1) = (x – 1)(x² + 1)
Vamos treinar em alguns exercícios?
Exercícios:
1. O valor da expressão 
, para x = 1,25 e y = 0,75, é:
- a) – 0,25.
- b) –0,125.
- c) 0.
- d) 0,125.
- e) 0,25.
2. O produto (4x + y)(4x – y) equivale a:
- a) 16x² – y².
- b) 8x² – y².
- c) 4x² – y².
- d) 16x² – 8xy + y².
- e) 8x² – 4xy + y².
3. O valor da expressão x²y + xy², no qual xy – 12 e x + y = 8, é:
- a) 40.
- b) 96.
- c) 44.
- d) 88.
- e) 22.
4. Fatorando a expressão ac + 2bc – ad – 2bd, obtemos:
- a) (a – 2b)(c – d).
- b) (a + 2b)(c – d).
- c) (a – 2b) (c + d).
- d) (a + c)2(a – b).
- e) (a – c)(a + 2b).
5. Qual é o fator comum a todos os termos do polinômio 
5) Gabarito:
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