No Ensino Fundamental, aprendemos a fatorar números. Qualquer número tem uma decomposição única em fatores primos. Depois, aprendemos, a partir da fatoração, a calcular o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números. Agora, damos um passo além: iremos aprender a fatorar expressões.Mais do que um tema matemático, fatoração é uma ferramenta poderosa usada para resolver diversos tipos de questões. Ou seja, dificilmente iremos encontrar uma questão sobre fatoração propriamente dita, entretanto, a fatoração se mostra presente em questões de funções, geometria plana, geometria espacial, enfim, em todas as áreas da matemática. Vamos lá?
O que é fatoração?
Quando estamos fatorando números, sabemos que devemos transformá-los em uma multiplicação de fatores primos. Ou seja, ao fatorar o número 18, por exemplo, encontramos 18 = 2 . 3². Entretanto, o que é, realmente, fatorar expressões? Fatorar uma expressão diz respeito à transformação em fatores de um produto. Por exemplo:- A forma fatorada de é x² + 2x + 1 é ( x + 1 )² , uma vez que transformamos uma expressão contendo apenas somas em uma outra contendo produtos.
- A forma fatorada de x² - 5x + 6 é (x - 2)(x - 3).
Então, veja que uma expressão que, a princípio, parece ser muito complicada, como 
, acaba se tornando outra mais simples, como (x + 1).Tá bom, entendi, mas como aprender a fatorar? Vamos aprender duas técnicas de fatoração!Fator comum em evidência
Uma técnica muito útil é a de fatorar pelo fator comum em evidência. Veja esse exemplo:- 2x + 2y
- a + ab = a (1 + b). Nesse caso, o fator comum é o a.
- 10x - 20y = 10 (x - 2y). Nesse caso, o fator comum é o 10, que é o maior divisor comum entre 10 e 20.
- x³ + 3x = x (x² + 3). Nesse caso, o fator comum é o x.
- x³y² - xy² + xy. Repare que o fator comum é xy, pois, reescrevendo os termos, temos que:x³y² = x . y . x² . yxy² = x . y . yDessa forma, x³y² - xy² + xy = xy (x²y - y + 1)
Agrupamento
Essa outra técnica é um pouco mais difícil. Ela é usada quando o fator comum é um grupo comum.Por exemplo:- 2x + 2 + ax + a
x² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + a)(x + b)
x³ - x² + x - 1 = x² (x - 1) + 1 (x - 1) = (x - 1)(x² + 1)
Vamos treinar em alguns exercícios?Exercícios:
1. O valor da expressão
, para x = 1,25 e y = 0,75, é:- a) – 0,25.
- b) –0,125.
- c) 0.
- d) 0,125.
- e) 0,25.
- a) 16x² – y².
- b) 8x² – y².
- c) 4x² – y².
- d) 16x² – 8xy + y².
- e) 8x² – 4xy + y².
- a) 40.
- b) 96.
- c) 44.
- d) 88.
- e) 22.
- a) (a – 2b)(c – d).
- b) (a + 2b)(c – d).
- c) (a – 2b) (c + d).
- d) (a + c)2(a – b).
- e) (a – c)(a + 2b).
5) Gabarito:
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