A sequência de Fibonacci é um dos conceitos mais extraordinários da história da Matemática. Ele foi descoberto por Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci (“filho de Bonacci”), o qual, segundo ao típico problema dos coelhos, chegou à uma sequência que possui aplicações em diversas áreas.
A sequência
Essa sequência de números possui como os dois primeiros termos o número 1. Já os próximos, são a somatória de seus dois antecessores. Observe :
1,1,2,3,5,13,21,34….
Para exemplificar melhor a somatória, têm-se explicado abaixo :
1+1 = 2
2+1=3
3+2=5
…
E assim por diante. Através dessa sequência chegamos à equação abaixo, que pode ser usada quando n 3.
O problema dos coelhos
Mas, que tal entendermos como ele descobriu essa sequência? Para isso, vamos resolver o típico exercício de coelhos. Imagine que você tem um casal de coelhos recém-nascidos. Esses coelhos chegam à idade de acasalar um mês depois de nascer (casal maduro), sendo que as fêmeas demoram um mês para parir os filhotinhos (casal jovem), que, no caso, serão apenas outro casal. Depois de um ano, quantos casais de coelho você teria?
Primeiramente, podemos ilustrar/imaginar a evolução da quantidade de coelhos:
Assim, observa-se que essa exclusiva reprodução de coelhos segue a sequência de Fibonacci. Desse modo, seguindo a sequência, teremos
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , ….
Onde o 12º termo é o resultado do problema que queremos resolver.
Utilizando a equação demonstrada anteriormente, também chegaríamos ao mesmo resultado. Observe :
Sendo n=12, teremos :
F12 = F 11 + F 10
F12 = 89 + 55 = 144
Portanto, ao final de um ano teremos 144 casais de coelhos.
Retângulo de ouro
A partir da sequência de Fibonacci, pode-se construir o chamado retângulo de ouro. Ele é formado por quadrados que estão justapostos com medidas e lados iguais, que, se desenharmos um arco dentro desse retângulo, forma-se a espiral de Fibonacci, como pode-se observar abaixo:
Número de ouro
Considerado um número irracional misterioso e símbolo da proporcionalidade, o número de ouro é representado pela letra e é resultado da sucessão de divisões dos números que compõem a sequência de Fibonacci.
Apesar de ser uma sequência ilimitada, um fato interessante chama a atenção de todos, afinal, tomando as razões de cada termo com seu antecessor, nos aproximamos, cada vez mais, do chamado número de ouro. Observe :
Dada a sequência : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …
Iniciando as divisões :
1÷1=1
2÷1=2
3÷2=1,5
5÷3=1,66…
8÷5=1,6
13÷8= 1,625
21÷13=1,615
Observa-se que as sucessivas razões se aproximam do número de ouro, ou seja, do valor de, aproximadamente, 1,6180.
Aplicação – Sistema binário
Como dito anteriormente, a Sequência de Fibonacci se aplica em muitas coisas no cotidiano da sociedade. Desde o ramo de árvores até uma lógica de programação, sua presença é o que torna seu conceito tão extraordinário.
Um exemplo seria sua aplicação no código binário. O código binário é uma linguagem que computadores e qualquer mídia digital reconhecem, sendo composto apenas dos números 0 e 1.
Mas, como ele funciona ?
Basicamente, ele tem uma regra : quando aparecer o número 1, ele se transformará em 10 e, quando aparecer o 0, ele se transformará no 1. Observe :
Sendo os normais os derivados de 1, os negritos azul os de 0 :
1 – 10 – 101 – 10110 – 10110101 – 1011010110110
Mas, onde entra o conceito de Fibonacci ? Primeiramente, vamos contar quantas vezes o número 1 aparece na sequência ?
1 – 10 – 101 – 10110 – 10110101 – 1011010110110
1, 1, 2, 3, 5, 8….
Percebe que essa é o início da sequência de Fibonacci ? O mesmo se aplicará se contarmos a quantidade do número 0.
Esse é apenas um, dos vários exemplos de onde a teoria que estamos estudando se aplica. Agora, que tal finalizarmos com um exercício de vestibular que envolve a sequência de Fibonacci ?
Exercício final
(IME 2008) Uma série de Fibonacci é uma seqüência de valores definida da seguinte maneira:
Os dois primeiros termos são iguais à unidade, ou seja, T1=T2=1
Cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos anteriores, isto é:
TN = TN-2 + TN-1
Se T18= 2584 e T21 = 10946 então T22 é igual a:
- A) 12225
- B) 13530
- C) 17711
- D) 20412
- E) 22121
Resolução :
Levando em conta a equação base, temos que :
T22 = T20 + T21 (I)
Para encontrar T21, podemos fazer a seguinte relação :
Admitindo que :
T21= T19 + T20
T20= T18 + T19
Podemos concluir que :
T21 – T20 = T20 – T18 (II), pois :
(T19 + T20) – (T18 + T19) = T20 – T18
T19 + T20 – T18 – T19 = T20 – T18
T20 – T18 = T20 – T18
Então, podemos admitir que, segundo (II), temos :
T21 + T18 = T20 + T20
T21 + T18 = 2 .T20
T20 = T21 + T182 (III)
Agora, só substituirmos na equação (I):
T22 = T20 + T21 (I)
T22 = T21 + T182 + T21 (IV)
Só nos resta substituirmos os valores dados no enunciado :
T22 = 10946 + 10946+ 25842 = 10946 + 6765 = 17711
Portanto, a alternativa correta é a letra c).
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