Os exercícios de probabilidade condicional são cálculos que determinam quando um evento ocorre sabendo que outro evento condicionante aconteceu antes.
Sendo assim, essa categoria de cálculo envolve dois dados de 2 eventos distintos, sendo A e B. Um deles mostra a probabilidade condicional do evento, enquanto a outra mostra quando o evento ocorreu. Além disso, também há o espaço amostral, representado por “P”.
Contudo, a probabilidade condicional dos exercícios possui uma fórmula específica que auxilia na hora de solucionar problemas. Para saber mais, continue lendo.
Fórmulas da probabilidade condicional
De uma forma resumida, pode-se dizer que a probabilidade condicional determina as chances de um evento A acontecer, depois que B já aconteceu. Portanto, levando em consideração essa sentença, é possível ter B como evento condicionante.
Sendo assim, o cálculo mostra o resultado das chances do evento A acontecer depois que B já tiver acontecido. São duas fórmulas que calculam essa probabilidade:
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Espaço amostral
Dentro da teoria da probabilidade condicional é importante entender o que é espaço amostral. Além disso, o espaço amostral pode ser considerado todos os resultados possíveis dentro de um experimento.
Por exemplo, quando se joga um dado, o espaço amostral será todos os resultados possíveis pra aparecer na face superior. Portanto, esse valor é representado pelo símbolo ômega (Ω).
Enquanto isso, os eventos, são os resultados que queremos que aconteça dentro de um experimento aleatório.
Probabilidade condicional exemplo
Em primeiro lugar, para saber como calcular probabilidade, é importante entender o conceito.Portanto, os cálculos para determinar a probabilidade de um evento ocorrer exige algumas informações pré obtidas.
Por exemplo, se uma moeda for jogada pra cima três vezes, testando se ela cai em cara ou coroa, qual vai ser a probabilidade de cair em cara duas vezes. Contudo, sabe-se que no primeiro lançamento deu cara.
Da mesma forma, o primeiro ponto é identificar o evento B, condicionante, nesse caso o lançamento que foi cara. Então anote todos os possíveis resultados. Nesse caso, 4. Mas agora é preciso calcular junto com o resultado desejado A∩B. Sendo assim, que tenha duas caras nos resultados, nesse caso, 2.
Portanto, basta adicionar esses valores na fórmula da probabilidade condicional e encontrar o resultado.
Exemplo de Probabilidade -Pesquisas de opiniões ou qualidade
Vamos supor que em uma viagem de avião com 140 passageiros com destino a Natal, duas perguntas são feitas com cada um desses passageiros:
Já voou antes?
Já esteve em Natal?
Os resultados geraram tais dados:
Não conheciam Natal -> 83 ainda não haviam voado e 22 já haviam voado.
Já conheciam Natal -> 23 ainda não haviam voado e 12 já haviam voado.
Se eu quisesse saber a probabilidade dele conhecer Natal e nunca ter voado, como eu faria?
Usamos, nesse caso, a probabilidade condicional, que é representada por:
Resumidamente, a probabilidade condicional é a probabilidade de um evento acontecer dado que outro também acontece.
Nesse nosso caso, temos:
Vejamos um exemplo de problema:
Em uma pesquisa realizada com 10.000 consumidores sobre a preferência da marca de sabão em pó, verificou-se que 6500 utilizam a marca X, 5500 utilizam a marca Y, e 2000 utilizam as duas marcas. Foi sorteada uma pessoa desse grupo e se verificou que ela utiliza a marca X. Qual a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca Y?
Resolução:
A: Usuário da marca Y.
B: Usuário da marca X.
Queremos P(A|B) e temos que o número de elementos do espaço amostral é P(S) = 10000.
Temos, também, que:
P(A∩B) = 2000
Também temos:
n(B) = 6500 – n(A∩B) = 6500 – 2000 = 4500
Logo, temos:
Então:
Então primeiro acontece um evento e depois o outro…
Confira também as questões de probabilidade resolvidas
Exemplo de probabilidade Lançamento de dados
Como é clássico em probabilidade, temos os famosos lançamentos de dados. E, sim, podemos resolver problemas de probabilidade condicional nesse contexto.
Por exemplo, temos um experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis faces têm probabilidades iguais). Com relação a esse experimento, consideramos os seguintes eventos:
A: O resultado do lançamento é par.
B: O resultado do lançamento é estritamente maior do que 4.
C: O resultado é múltiplo de 3.
- a) A e B são eventos independentes?
- b) B e C são eventos independentes?
Percebemos que:
p(A) = 3/6 = 1/2, p(B) = 2/6 = 1/3 e p(A ∩B) = 1/6
Como p(A) . p(B) = 1/2 . 1/3 = 1/6 e esse valor é igual a p(A ∩ B), concluímos que A e B são eventos independentes.
p(B) = 2/6 = 1/3, P(C) = 2/6 = 1/3 e p(B ∩C) = 1/6
Como p(B) . p(C) = 1/3 . 1/3 = 1/9 e esse valor é diferente de p(B ∩C), concluímos que B e C não são eventos independentes.
Vamos a um exemplo:
Um dado é lançado três vezes, calcule a probabilidade de que o número 3 ocorra somente no primeiro e no terceiro lançamentos.
Resolução:
Temos três eventos independentes, pois o fato de sair um determinado número num dos lançamentos não influi em nada no que possa ocorrer no lançamento seguinte.
No primeiro lançamento deve ocorrer o número 3. A probabilidade de isso ocorrer é dada por: P1 = 1/6
No segundo lançamento deve ocorrer um dos números: 1, ou 2, ou 4, ou 5, ou 6. A probabilidade de isso ocorrer é dado por: P2 = 5/6
No terceiro lançamento deve ocorrer o número 3. A probabilidade de isso acontecer é dada por: P3 = 1/6
Então, a probabilidade de sair o número 3 somente no primeiro e no terceiro lançamentos é dada por:
p = p1 . p2 . p3 = 1/6 . 5/6 . 1/6 = 5/216
Ainda está confuso? Acho que não…
Exemplo de probabilidade condicional – Sorteio de bolas em uma urna
Outro método clássico de se cobrar probabilidade condicional é aquele em que se pede a probabilidade de se retirar tantas bolas de uma determinada cor, ou tantas bolas de uma cor e uma de outra cor, ou, ainda, de se retirar uma certa quantidade de bolas de uma urna, como funciona o bingo, por exemplo.
Imagine que temos uma caixa com 3 bolas brancas e duas bolas pretas. São retiradas duas bolas. Como calcularíamos a probabilidade das duas serem pretas, ou melhor, de uma ser preta e a outra branca?
No primeiro caso, a probabilidade das duas serem pretas:
Temos o sorteio de duas bolas, assim, na retirada da primeira bola, a chance dela ser preta é de 2/5, porém, quando retiramos a segunda bola, temos que a chance dela ser preta é de 1/4, pois a primeira já tinha saído.
Agora, temos que a primeira deve ser preta E a segunda deve ser preta, assim:
2/5 . 1/4 = 2/20 = 10/100 = 10%
Agora, no segundo caso, temos que uma deve ser de preta e a outra branca:
Agora, a probabilidade da primeira ser preta é de 2/5, já da segunda ser branca será de 3/4. Porém, nesse caso também temos a probabilidade da primeira retirada vir uma bola branca e na segunda uma preta.
Então nós tiraremos uma bola preta E uma branca OU uma bola branca E uma preta, assim:
2/5 . 3/4 + 3/4 . 2/5 = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 60/100 = 60%
Viu como é simples?
Vamos a um exemplo:
(UFF – RJ) Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75, e um participante concorre com a cartela reproduzida abaixo. Qual é a probabilidade de que os três primeiros números sorteados estejam nessa cartela?
Resolução:
Podemos resolver o exercício utilizando o princípio fundamental da contagem. Observe que a cartela contém 24 números entre um universo de 75 que serão sorteados. A chance dos três primeiros números dessa cartela serem sorteados nas três primeiras rodadas respeita a seguinte ordem:
1º sorteio – 24/75
2º sorteio – 23/74
3º sorteio – 22/73
Calculamos a chance realizando o produto entre os eventos:
A chance dos três primeiros números sorteados serem da cartela é de 3%.
Probabilidade condicional exercícios
Questão 1
Um diretor de escola lê em uma revista que as mulheres têm o tamanho do pé cada vez maior em sua média. Com isso, pesquisou que anos atrás, a média do tamanho dos calçados femininos era de 35,5, sendo assim, atualmente esse valor chegou a 37,0.
Entretanto, mesmo não sendo um dado científico, resolveu fazer uma pesquisa com suas próprias funcionárias e obteve a seguinte tabela:
| Número de funcionárias | Tamanho do calçado |
| 1 | 39 |
| 10 | 38 |
| 3 | 37 |
| 5 | 36 |
| 6 | 35 |
Sendo assim, ao selecionar uma das funcionárias ao acaso, qual a probabilidade condicional de ela usar calçados de tamanho 38?
- A) 5,14
- B) 2/5
- C) 1/5
- D) 5/7
- E) 1/3
Questão 2
Um professor resolveu construir uma tabela em sala de aula, além disso, resolvey anotar algumas características de seus alunos. Portanto:
| Usam óculos | Não usam óculos | |
| Homens | 3 | 10 |
| Mulheres | 4 | 15 |
No entanto, depois, realizou-se um sorteio entre todos da sala. Mas qual a probabilidade de que o sorteado seja um homem que não usa óculos?
- A) 60%
- B) 15%
- C) 4%
- D) 10%
- E) 40%
Gabarito
1- D
2- E
Assista também o vídeo do nosso canal sobre Probabilidade Condicional
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