Equações de 2º grau são expressões polinomiais de grau 2. Elas são resolvidas através da uso de uma expressão nomeada “Bháskara” , em homenagem à um dos matemáticos ligados ao seu desenvolvimento. Ela é utilizada desde os tempos antigos, onde diversos matemáticos tiveram sua contribuição para a formulação do que ela é hoje.
Elas se aplicam a problemas em que necessitamos resolver um incógnita exponencial de grau 2 . Um exemplo seria uma questão que envolvesse a área de um quadrado (lado x lado = lado²), ou com alguma função que contenha uma incógnita elevada ao expoente 2.
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A Fórmula de Bhaskara
O problema, primeiramente, se apresentará de forma genérica, com a identidade abaixo :
ax² + bx +c =0
Na expressão acima, as letras a, b e c são números reais, que serão identificados e aplicados, então, na fórmula de Bháskara, a fim de encontramos o valor de x:
Onde, se dá por:
Considerações importantes
É importante admitirmos alguns pontos importantes sobre as equações de 2º grau:
- para ser considerada uma equação de 2º grau, a constante “a” necessita ser diferente de zero (a ≠ 0).
- o valor de Δ necessita ser positivo (Δ > 0) possuindo, desse modo, duas raízes (valores de x) reais.
- se for negativo, ou seja, Δ < 0, significa que a equação não possui valores reais.
- termos uma de suas outras constantes (b ou c) iguais a zero não nos impede de resolver a equação.
Agora que você está brevemente contextualizado com o assunto, que tal partirmos para o passo a passo de como resolver uma questão com esse conceito ?
Passos a serem seguidos na resolução
Vamos considerar a seguinte equação :
2x² + 4x – 6 = 0
Inicialmente, devemos determinar os valores de a, b e c na nossa equação. Assim, seguindo a expressão base ax² + bx + c = 0 , teremos :
a = + 2
b = + 4
c = – 6
Agora, os substituiremos na expressão de Bháskara, a fim de, primeiramente, encontramos o valor de delta. Desse modo :
Δ = b² – 4ac
Δ = 4² – 4.2.(-6)
Δ = 16 + 48
Δ = 64
Observa-se que o valor de é positivo, o que indica que podemos continuar com a resolução. Nos resta substituir o valor de delta na seguinte expressão :
Lembrando que encontraremos duas raízes, ao resolver a expressão (I), chegaremos em :
Portanto, os dois valores que, se substituídos na primeira equação, terão que ser equivalentes ao seu resultado final (zero), são -3 e 1.
Agora, iremos resolver uma questão que caiu no ENEM, em 2010. Mas, antes, que tal vermos um mapa mental com todos os passos da resolução de uma equação de 2º grau ?
Questão – ENEM (2010)
Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os volumes dos reservatórios são dados pelas funçõesV1(t) = 250t³ – 100t + 3000e V2(t) = 150t³ + 69t + 3000.
Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e, também, no tempo t igual a
- a) 1,3 h.
- b) 1,69 h.
- c) 10,0 h.
- d) 13,0 h.
- e) 16,9 h.
Resolução :
Apesar do exercício nos trazer uma expressão de grau 3, podemos, através de uma simples manipulação, transformá-la em uma equação de 2º grau e, com isso, resolvê-la com o Bháskara.
Primeiramente, igualamos as duas funções, visto que queremos descobrir em qual momento o volume de leite será igual em ambos os reservatórios.
V1(t) = V2(t)
250t³ – 100t + 3000 = 150t³ + 69t + 3000
250t³ – 100t + 3000 = 150t³ + 69t + 3000
250t³ – 100t = 150t³ + 69t
Observa-se que temos um termo em comum na igualdade: o (t). Assim, para chegarmos ao grau 2, basta dividir a igualdade por t :
Logo :
250t² – 100 = 150t² + 69
250t² – 150t²– 100 – 69 = 0
100t² – 169 = 0
Pronto! Chegamos à uma equação de 2º grau. Agora, é só seguir a metodologia anterior:
1) determinar as constantes a,b,c
a=100
b= 0
c= -169
2) encontrar o delta:
Δ = b² – 4ac
Δ = 0² – 4.100.(-169)
Δ = 67600
Como é diferente e maior que zero, podemos dar continuidade.
3) Substituindo em x, para encontrar as raízes, teremos :
Portanto : x’ = +1,3 e x” = -1,3.
Desconsiderando o valor negativo de x, que, neste caso, não nos convém pelo fato de não existir “tempo negativo”, chegaremos à resposta : o volume se iguala em ambos os tanques em t = 1,3h.
Alternativa a).
