Saiba tudo sobre funções injetoras, bijetoras e mais!

Tem função injetora, bijetora e muito mais! Vem aprender tudo sobre funções para mandar bem na sua prova de matemática!

O estudo das funções se dá no ato de estabelecer uma relação entre grandezas onde o comportamento de uma delas está diretamente ligado ao comportamento da outra, ou seja, temos variáveis; uma delas é a variável dependente e a outra é variável independente. Uma função possui também uma lei que determina a relação entre os elementos do domínio e da imagem. Hoje estudaremos o básico desse tópico, a introdução, estudando sua definição e suas classificações, portanto, bons estudos!  

Definição de Função

A definição de funções é dada pelo estudo de dois conjuntos A e B não vazios, onde existe uma função f de A em B, dada por uma relação que associa a cada elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B. Ou seja, se temos dois conjuntos A e B, estabelecemos uma relação de função de A em B, quando para cada elemento de A estiver relacionado apenas um elemento de B. Ao conjunto de partida, damos o nome de Domínio (Dom(f)) da função; ao conjunto de chegada, damos o nome de Contra-Domínio (CD(f))da função; e o conjunto dos elementos relacionados a cada elemento de A é chamado de Imagem (Im(f)) da função. Aqui dizemos que há uma função de A -> B. Vejamos um exemplo de uma relação:   Perceba que o Dom(f) é o conjunto A, o CD(f) é o conjunto B e a Im(f) é o conjunto formado pelos elementos {0,1,2,3}. Perceba que, no caso abaixo, NÃO temos uma relação de função, pois o elemento 4 está relacionado a mais de um elemento.  

Classificação de uma função

As funções possuem três classificações: Sobrejetora, Injetora ou Bijetora.

Injetora

Funções são injetoras ou injetivas quando, para quaisquer elementos x1 ≠ x2, temos f(x1) ≠ f(x2), ou seja, são injetoras quando todos os elementos da imagem estão ligados a apenas UM elemento do domínio.   Perceba que a Im(f) = {1,3,5} e cada um desses elementos está relacionado com apenas um elemento do domínio.

Sobrejetora

Funções são chamadas de Sobrejetora ou Sobrejetiva quando o contra-domínio for o próprio conjunto imagem, ou seja, quando todos os elementos do contra-domínio estiverem relacionados com algum elemento do domínio. Perceba que a Im(f) = {12, 3, 27} é igual ao CD = {12, 3, 27}.

Bijetora

Funções são chamadas de Bijetora ou Bijetiva quando ela é Injetora e Sobrejetora ao mesmo tempo. Perceba que cada elemento da imagem possui apenas um elemento do domínio relacionado e o contra-domínio é igual ao conjunto imagem, logo, Bijetora.  

Lei de uma Função

Para se estabelecer uma relação de função, devemos ter os conjuntos de saída e entrada como já vimos acima, mas também devemos ter algo que faça essa ligação entre os elementos desses conjuntos, ou seja, alguém que faça a relação entre eles. Para estabalecer essa relação, usamos a lei da função. Perceba alguns exemplos:

f(x) = x + 1 ; h(x) = -x² + 5 ; g(x) = 1/x

Considerando uma função de A -> B, onde A = {0, 1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, e estão definidos sob a lei f(x)=x+1, temos:

f(0) = 0 + 1 = 1 f(1) =  1 + 1 = 2 f(2) = 2 + 1 = 3 f(3) = 3 + 1 = 4

Perceba que todos os elementos do domínio possuem uma imagem no conjunto B, logo, essa é uma Injetora!  

Exercícios

1) (FUVEST - 03) Seja f a função que associa, a cada número real x, o menor dos números x + 3 e - x + 5. Assim, o valor máximo de f(x) é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 7   2) (Fuvest–SP) Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo que f(2) = 1, determine o valor de f(5).   3) (UEFS) A imagem da função f(x) = (4x + 2) / 3 é (-¥ , 5] , para todo x pertencente a R tal que: a) x = 13/4 b) x < 3/4 c) x = 3/4 d) x < 17/4 e) x < 11  

Gabarito

1 - C 2 - f(5) = 5/2 3 - A