A progressão aritmética, também conhecida como PA, é um conceito fundamental na matemática, desempenhando um papel crucial na resolução de problemas e na análise de padrões numéricos.
Confira uma lista de exercícios de progressão aritmética para que você possa aprimorar sua compreensão e habilidades práticas nesse tópico essencial.
Exercícios de Progressão Aritmética (PA)
Questão 1. (Unitau)
Um triângulo retângulo tem seus lados c, b, e a em uma progressão aritmética crescente, então podemos dizer que sua razão r é igual a:
a) 2c.
b) c/3.
c) a/4.
d) b.
e) a – 2b.
Questão 2. (Unesp)
Um estacionamento cobra R$1,50 pela primeira hora. A partir da segunda, cujo valor é R$1,00 até a décima segunda, cujo valor é R$ 0.40, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local, quanto gastará seu proprietário?
a) R$ 4,58
b) R$ 5,41
c) R$ 5,14
d) R$ 4,85
e) R$ 5,34
Questão 3. (Mackenzie)
A sequência (2, a, b, …… , p, 50) é uma progressão aritmética de razão r < 2/3, onde, entre 2 e 50, foram colocados k termos. Então o valor mínimo de k é:
a) 64
b) 66
c) 68
d) 70
e) 72
Questão 4. (Fuvest)
Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a, √(11- a). O quarto termo desta P.A. é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Questão 5. (Fei)
Se a, 2a, a², b formam, nessa ordem, uma progressão aritmética estritamente crescente, então o valor de b é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
Questão 6 (PUC-RS)
Na sequência definida por
, a soma dos 10 primeiros termos é igual a:
a) 53/2
b) 265/2
d) 53
d) 265
e) 53
Questão 7
A soma dos 20 elementos iniciais da P.A. (-10,-6,-2,2,…) é:
a) 660
b) 640
c) 600
d) 560
e) 540
Questão 8
A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a
a) 400
b) 410
c) 670
d) 780
e) 800
Questão 9 (UFCE)
Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a
a) 5100
b) 5200
c) 5300
d) 5400
e) 5500
Questão 10 (PUC)
A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por S~n~=3n2+5n. a razão dessa PA é:
a) 7
b) 6
c) 9
d) 8
e) 10
Gabarito e Comentários – Exercícios Progressão Aritmética
1. B
Solução Passo-a-Passo:
Como o triângulo é retângulo, o maior lado é a hipotenusa, neste caso a, já que c, b e a estão em progressão aritmética crescente. Do Teorema de Pitágoras, temos que a² = b² – c². Sabemos também que r = a – b = b – c ⇒ a = b + b – c ⇒ a = 2b – c. Substituindo o valor de a no teorema anterior: (2b – c)² = b² + c² ⇒ 4b² – 4bc + c² = b² + c² ⇒ 4b² – b² -4bc = 3b² – 4bc = 0 ⇒ b.(3b – 4c) = 0 ⇒ ou b =0, o que é impossível já que b é lado de um triângulo, ou 3b – 4c = 0 ⇒ 3b = 4c ⇒ b = 4c/3. Portanto, r = b – c ⇒ r = 4c/3 – c ⇒ r = (4c – 3c)/3 ⇒ r = c/3.
2. C
Solução Passo-a-Passo:
Temos uma progressão aritmética de a1 = 1 e a11 = 0,40 e queremos saber o valor pago até a4 – já que nossa progressão começa na segunda hora, a quinta hora equivalerá ao a4. Sabendo que an = ap + (n – p).r:
a11 = a1 + (11 – 1).r ⇒ 0,4 = 1 + 10r ⇒ 0,4 – 1 = 10r ⇒ -0,6 = 10r ⇒ r = -0,06.
a4 = a1 + (4 – 1). (-0,06) ⇒ a4 = 1 – 3.o,06 ⇒ a4 = 1 – 0,18 ⇒ a4 = 0,82.
a3 = a1 + (3 – 1). (-0,06) ⇒ a3 = 1 – 2.0,06 ⇒ a3 = 1 – 0,12 ⇒ a3 = 0,88.
a2 = a1 + (2-1). (-0,06) ⇒ a2 = 1 – 0,06 ⇒ a2= 0, 94.
Desta maneira o total pago por cinco horas é: 1,5 + 1 + 0,94 + 0,88 + 0,82 = R$5,14.
3. E
Solução Passo-a-Passo:
Trata-se de uma interpolação aritmética de k termos. Portanto, temos k + 2 termos no total. Sabemos que o termo k+2 – ésimo vale 50 e o a1 vale 2. Assim, an = ap + (n – p).r ⇒ a(k+2) = a1 + (k+2 – 1). r ⇒ 50 = 2 + (k+1).r ⇒ 50 – 2 = (k+1).r ⇒ 48 = (k+1).r ⇒ 48/(k+1) = r. Mas sabemos que r < 2/3, então, 48/(k+1) < 2/3 ⇒ 48.3 < 2.(k+1) ⇒ 144 < 2.(k+1) ⇒ 144/2 < k + 1 ⇒ 72 < k + 1 ⇒ 72 – 1 < k ⇒ k > 71. Como k é um número natural – pois exprime uma quantidade – o valor mínimo de k é 72.
4. B
Solução Passo-a-Passo:
r = -a – (1 – a) = -a -1 + a ⇒ r = -1. √(11- a) – (-a) = -a – (1-a) ⇒ √(11- a) + a = -a – 1 + a ⇒ √(11- a) + a = -1 ⇒ √(11- a) = -1 – a⇒ [√(11- a)]² = (-1-a)² ⇒ 11 – a = 1 + 2a + a² ⇒ 0 = a² + 2a + a + 1 -11 ⇒ a² + 3a – 10 = 0. Por produto de Steve, temos dois números cuja a soma vale 3 e o produto -10, eles são -2 e 5, assim, (a – 2). (a + 5) = 0, a = 2 ou a = -5. Como -a é um número positivo, a é um número negativo e por isso, a = -5. Enfim, a4 = a2 + (4-2).(-1) ⇒ a4 = -a -2 ⇒ a4 = -(-5) -2 = 5 – 2 ⇒a4 = 3.
5. E
Solução Passo-a-Passo:
a² – 2a = 2a – a ⇒ a² -2a – a = 0 ⇒ a² – 3a = 0 ⇒ a.(a-3) = 0 ⇒ ou a =0, o que não é possível já que a p.a. é estritamente crescente, ou a – 3 = 0 ⇒ a =3. r = 2a – a = a ⇒ r = 3. b = a² + r ⇒ b = 3² + 3 ⇒ b = 9 + 3 ⇒ b = 12.
6. B
Solução Passo-a-Passo:
Usando a fórmula da soma da Progressão Aritmética:
Soma de N números de uma PA
Temos então que achar quem é a0 e an.
Agora aplicando à fórmula:
7. D
Solução Passo-a-Passo:
Primeiro devemos nos preocupar em achar o vigésimo termo desta Progressão Aritmética:
agora que sabemos quem é o último termo, podemos utilizar a fórmula da soma:
8. D
Solução Passo-a-Passo:
Lembrando que o conjunto dos números naturais começa pelo 0, seu quadragésimo termo será então o 39. Agora podemos usar a fórmula:
Soma de N números de uma PA
9. B
Solução Passo-a-Passo:
Sabemos que:
S11=35200 r=400
e podemos escrever:
an=a1+(n-1)r
a11=a1+10r
a11=a1+4000
Agora iremos aplicar isto à nossa equação da soma de termos da Progressão Aritmética:
Soma de N números de uma PA
Agora que sabemos quem é o primeiro termo, podemos descobrir quem é o décimo primeiro: 
10. B
Solução Passo-a-Passo:
Sn=3n2+5n esta é a equação da soma dos termos desta Progressão Aritmética:
Se eu quiser saber a soma do primeiro termo, basta que eu diga que n=1. Porém é importante entender que a soma do primeiro termo é exatamente o primeiro termo desta Progressão Aritmética!
Logo
S1=3 12+5 1 = 8
a1 = 8
Pelo mesmo raciocínio eu posso procurar a soma dos dois primeiros termos:
S2=3 22+5 2 = 22
É importante que você repare que este resultado é a1+a2 = S2
Então
a1+a2=22
8+a2=22
a2=22-8
a2=14
A razão é a diferença entre os termos 2 e 1:
14-8 = 6
Assista também a aula de revisão sobre Progressão Aritmética
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