O paralelepípedo é, talvez, um dos objetos matemáticos mais conhecidos por todos. Por ser uma palavra um tanto difícil de ser pronunciada, o conhecemos, ainda pequenos, em aulas de português. O tempo passa e passamos a vê-lo em aulas de matemática e descobrimos que esse objeto é o queridinho do ENEM, caindo em praticamente todas as edições da prova.Por isso, preparamos esse guia rápido para você saber tudo sobre o paralelepípedo. Você vai aprender sua definição, a calcular sua área e seu volume. Por fim, verá exemplos de como o assunto costuma cair em provas.
O que é um paralelepípedo?
Existe, na matemática, uma classe de objetos tridimensionais chamada de prismas. Prismas são poliedros que possuem duas bases opostas paralelas e iguais, conforme a figura abaixo:
É importante notar que os prismas são classificados de diversas maneiras, mas a principal é pelo seu tipo de base. Ou seja, ele pode ser um prisma triangular, por exemplo, se sua base for um triângulo. Outro tipo de classificação é em relação à inclinação das arestas laterais. Assim, eles podem ser classificados em:- Oblíquos: as arestas laterais são oblíquas em relação à base
- Retos: as arestas laterais são perpendiculares à base. Em todo prisma reto as faces laterais são retângulos e a altura do prisma coincide com as arestas laterais.
Dito isso, podemos, de fato, definir um paralelepípedo: é um prisma reto cuja base é um paralelogramo. Ou seja, existem vários tipos de paralelepípedos, o importante é que ele seja reto e a base seja um paralelogramo. Dá uma olhada nesses que separamos para vocês:
O prisma de base quadrada é o nosso querido cubo! Sim, ele é um tipo de paralelepípedo. Área de um paralelepípedo
Para calcular a área de um paralelepípedo, não há mistério, basta calcular a área de cada uma de suas faces e somar tudo no final. Olha esse exemplo:Seja um paralelepípedo de base 10x3 e altura 7, conforme ilustrado abaixo:
Podemos ver que temos três tipos de faces- Duas faces 10x3
- Duas faces 7x3
- Duas faces 10x7
Volume de um paralelepípedo
Para calcular o volume de um prisma qualquer, basta multiplicar a área de sua base pela sua altura, ou seja:
Como o paralelepípedo é um prisma, então essa fórmula continua valendo e funciona. O interessante é que, no caso dos paralelepípedos, o cálculo de seu volume fica mais fácil ainda: basta multiplicar seu comprimento, largura e altura. Prontinho, é só isso! Assim, podemos calcular o volume do paralelepípedo do exemplo anterior:
Seu volume é dado por V= 7 × 10 × 3 = 270. Muito fácil, né?Diagonal de um paralelepípedo
Essa é uma fórmula bem fácil de ser gravada e que costuma cair de vez em quando. É importante sabermos calcular a diagonal de um paralelepípedo.
Agora vamos ver como isso tudo costuma cair no ENEM?Exercícios sobre paralelepípedo com gabarito
Questão 1
Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita colocar numa caixa de papelão um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, com diferentes dimensões, conforme descrito:- Caixa 1: 86 cm X 86 cm X 86cm- Caixa 2: 75 cm X 82 cm X 90 cm- Caixa 3: 85 cm X 82 cm X 90 cm- Caixa 4: 82 cm X 95 cm X 82 cm- Caixa 5: 80 cm X 95 cm X 85 cmO casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em seu interior.A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5Questão 2
Uma fábrica comercializa chocolates em uma caixa de madeira, como na figura.
A caixa de madeira tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões externas, em centímetro, estão indicadas na figura. Sabe-se também que a espessura da madeira, em todas as suas faces, é de 0,5cm.Qual é o volume de madeira utilizado, em centímetro cúbico, na construção de uma caixa de madeira como a descrita para embalar os chocolates? a) 654b) 666c) 673d) 681e) 693Questão 3Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1.000 L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e comprimento iguais a 3 m e 5 m respectivamente. O nível da lâmina d’água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina.A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às suas especificações técnicas é a) 11,25b) 27,00c) 28,80d) 32,25e) 49,50Questão 4Para decorar sua casa, uma pessoa comprou um vaso de vidro em forma de um paralelepípedo retangular, cujas medidas internas são: 40cm de comprimento, 35cm de largura e 60cm de altura.Em seguida, foi até uma floricultura e escolheu uma planta aquática para colocar nesse vaso. Segundo uma proposta do gerente do local, essa pessoa avaliou a possibilidade de enfeitar o vaso colocando uma certa quantidade de pedrinhas artificiais brancas, de volume igual a 100 cm³ cada uma delas, que ficarão totalmente imersas na água que será colocada no vaso.O gerente alertou que seria adequado, em função da planta escolhida, que metade do volume do vaso fosse preenchido com água e que, após as pedrinhas colocadas, a altura da água deveria ficar a 10 cm do topo do vaso, dando um razoável espaço para o crescimento da planta.A pessoa aceitou as sugestões apresentadas, adquirindo, além da planta, uma quantidade mínima de pedrinhas, satisfazendo as indicações do gerente.Nas condições apresentadas, a quantidade de pedrinhas compradas foia) 140b) 280c) 350d) 420e) 700Questão 5Uma empresa especializou-se no aluguel de contêineres que são utilizados como unidades comerciais móveis. O modelo padrão alugado pela empresa tem altura de 2,4m e as outras duas dimensões (largura e comprimento), 3,0 m e 7,0m, respectivamente.
Um cliente solicitou um contêiner com altura padrão, porém, com largura 40% maior e comprimento 20% menor que as correspondentes medidas do modelo padrão. Para atender às necessidades de mercado, a empresa também disponibiliza um estoque de outros modelos de contêineres, conforme o quadro.| Modelos com altura de 2,4 m | Largura (em metro) | Comprimento (em metro) |
| I | 4,2 | 8,4 |
| II | 4,2 | 5,6 |
| III | 4,2 | 5,8 |
| IV | 5,0 | 5,6 |
| V | 5,0 | 8,4 |
GABARITO
Resposta da questão 1: [C]
A caixa escolhida deve ser a número 3, pois se somarmos as diferenças de cada uma das dimensões tem-se:--> Caixa 1: (86 - 80) + (86 - 80) + (86 - 80) = 18--> Caixa 2: não cabe --> 75 < 80--> Caixa 3: (85 - 80) + (82 - 80) + (90 - 80) = 17--> Caixa 4: (82 - 80) + (95 - 80) + (82 - 80) = 19--> Caixa 5: (80 - 80) + (95 - 80) + (85 - 80) = 20Ou ainda pode-se calcular por volume:--> Caixa 1: 86 • 86 • 86 = 636056--> Caixa 2: não cabe = 75 < 80--> Caixa 3: 85 • 82 • 90 = 627300 --> menor volume--> Caixa 4: 82 • 95 • 82 = 638780--> Caixa 5: 80 • 95 • 85 = 646000Resposta da questão 2: [C]
O resultado é igual a 20 • 20 • 8 - 19 • 19 • 7 = 3200 - 2527 = 673cm³.Resposta da questão 3: [B]
Calculando:V = 3 • 5 • (1,7 - 0,5) = 18m³ ou 18.000LV produto = 18 • 1,5 = 27mLResposta da questão 4: [B]
Sabendo que o volume é proporcional à altura, podemos afirmar que o volume ocupado pelas pedrinhascorresponde à altura de 60 - 30- 10 = 20 cm.Assim, o volume ocupado pelas pedrinhas corresponde a 40 • 35 • 20 = 28000 cm³.A resposta é:
