Tudo sobre paralelepípedo: fórmulas, volume, área e mais

O paralelepípedo é, talvez, um dos objetos matemáticos mais conhecidos por todos. 

Por ser uma palavra um tanto difícil de ser pronunciada, o conhecemos, ainda pequenos, em aulas de português. 

O tempo passa e passamos a vê-lo em aulas de matemática e descobrimos que esse objeto é o queridinho do ENEM, caindo em praticamente todas as edições da prova.

Por isso, preparamos esse guia rápido para você saber tudo sobre o paralelepípedo. Você vai aprender sua definição, a calcular sua área e seu volume. 

Por fim, verá exemplos de como o assunto costuma cair em provas. 

O que é um paralelepípedo?

Existe, na matemática, uma classe de objetos tridimensionais chamada de prismas. 

Prismas são poliedros que possuem duas bases opostas paralelas e iguais, conforme a figura abaixo:

É importante notar que os prismas são classificados de diversas maneiras, mas a principal é pelo seu tipo de base. Ou seja, ele pode ser um prisma triangular, por exemplo, se sua base for um triângulo. 

Outro tipo de classificação é em relação à inclinação das arestas laterais. Assim, eles podem ser classificados em:

• Oblíquos: as arestas laterais são oblíquas em relação à base
• Retos: as arestas laterais são perpendiculares à base. Em todo prisma reto as faces laterais são retângulos e a altura do prisma coincide com as arestas laterais. 

Dito isso, podemos, de fato, definir um paralelepípedo: é um prisma reto cuja base é um paralelogramo. 

Ou seja, existem vários tipos de paralelepípedos, o importante é que ele seja reto e a base seja um paralelogramo. Dá uma olhada nesses que separamos para vocês:

O prisma de base quadrada é o nosso querido cubo! Sim, ele é um tipo de paralelepípedo. 

Área de um paralelepípedo

Para calcular a área de um paralelepípedo, não há mistério, basta calcular a área de cada uma de suas faces e somar tudo no final. Olha esse exemplo:

Seja um paralelepípedo de base 10×3 e altura 7, conforme ilustrado abaixo:

Podemos ver que temos três tipos de faces

• Duas faces 10×3
• Duas faces 7×3
• Duas faces 10×7

Calculando a área, encontramos 2(10×3) + 2(7×3) + 2(10×7) = 60 + 42 + 140 = 242, que é a área total desse paralelepípedo. 

Volume de um paralelepípedo

Para calcular o volume de um prisma qualquer, basta multiplicar a área de sua base pela sua altura, ou seja:

Como o paralelepípedo é um prisma, então essa fórmula continua valendo e funciona. 

O interessante é que, no caso dos paralelepípedos, o cálculo de seu volume fica mais fácil ainda: basta multiplicar seu comprimento, largura e altura. Prontinho, é só isso! 

Assim, podemos calcular o volume do paralelepípedo do exemplo anterior:

Seu volume é dado por V= 7 × 10 × 3 = 270.  Muito fácil, né?

Diagonal de um paralelepípedo

Essa é uma fórmula bem fácil de ser gravada e que costuma cair de vez em quando. 

É importante sabermos calcular a diagonal de um paralelepípedo.

Agora vamos ver como isso tudo costuma cair no ENEM?

Exercícios sobre paralelepípedo com gabarito

Questão 1

Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita colocar numa caixa de papelão um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, com diferentes dimensões, conforme descrito:

– Caixa 1: 86 cm X 86 cm X 86cm

– Caixa 2: 75 cm X 82 cm X 90 cm

– Caixa 3: 85 cm X 82 cm X 90 cm

– Caixa 4: 82 cm X 95 cm X 82 cm

– Caixa 5: 80 cm X 95 cm X 85 cm

O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em seu interior.

A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número 

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Questão 2

Uma fábrica comercializa chocolates em uma caixa de madeira, como na figura.

A caixa de madeira tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões externas, em centímetro, estão indicadas na figura. Sabe-se também que a espessura da madeira, em todas as suas faces, é de 0,5cm.

Qual é o volume de madeira utilizado, em centímetro cúbico, na construção de uma caixa de madeira como a descrita para embalar os chocolates? 

a) 654

b) 666

c) 673

d) 681

e) 693

 Questão 3

Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1.000 L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e comprimento iguais a 3 m e 5 m respectivamente. 

O nível da lâmina d’água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina.

A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às suas especificações técnicas é 

a) 11,25

b) 27,00

c) 28,80

d) 32,25

e) 49,50

  Questão 4

Para decorar sua casa, uma pessoa comprou um vaso de vidro em forma de um paralelepípedo retangular, cujas medidas internas são: 40cm de comprimento, 35cm de largura e 60cm de altura.

Em seguida, foi até uma floricultura e escolheu uma planta aquática para colocar nesse vaso. Segundo uma proposta do gerente do local, essa pessoa avaliou a possibilidade de enfeitar o vaso colocando uma certa quantidade de pedrinhas artificiais brancas, de volume igual a 100 cm³ cada uma delas, que ficarão totalmente imersas na água que será colocada no vaso.

O gerente alertou que seria adequado, em função da planta escolhida, que metade do volume do vaso fosse preenchido com água e que, após as pedrinhas colocadas, a altura da água deveria ficar a 10 cm do topo do vaso, dando um razoável espaço para o crescimento da planta.

A pessoa aceitou as sugestões apresentadas, adquirindo, além da planta, uma quantidade mínima de pedrinhas, satisfazendo as indicações do gerente.

Nas condições apresentadas, a quantidade de pedrinhas compradas foi

a) 140

b) 280

c) 350

d) 420

e) 700

  Questão 5

Uma empresa especializou-se no aluguel de contêineres que são utilizados como unidades comerciais móveis. O modelo padrão alugado pela empresa tem altura de 2,4m e as outras duas dimensões (largura e comprimento), 3,0 m e 7,0m, respectivamente.

Um cliente solicitou um contêiner com altura padrão, porém, com largura 40% maior e comprimento 20% menor que as correspondentes medidas do modelo padrão. Para atender às necessidades de mercado, a empresa também disponibiliza um estoque de outros modelos de contêineres, conforme o quadro.

Dos modelos disponíveis, qual atende às necessidades do cliente? 

a) I   

b) II   

c) III   

d) IV   

e) V   

GABARITO

Resposta da questão 1:  [C]

A caixa escolhida deve ser a número 3, pois se somarmos as diferenças de cada uma das dimensões tem-se:

–> Caixa 1: (86 – 80) + (86 – 80) + (86 – 80) = 18

–> Caixa 2: não cabe  –> 75 < 80

–> Caixa 3: (85 – 80) + (82 – 80) + (90 – 80) = 17

–> Caixa 4: (82 – 80) + (95 – 80) + (82 – 80) = 19

–> Caixa 5: (80 – 80) + (95 – 80) + (85 – 80) = 20

Ou ainda pode-se calcular por volume:

–> Caixa 1: 86 • 86 • 86 = 636056

–> Caixa 2: não cabe =  75 < 80

–> Caixa 3: 85 • 82 • 90 = 627300 –> menor volume

–> Caixa 4: 82 • 95 • 82 = 638780

–> Caixa 5: 80 • 95 • 85 = 646000

Resposta da questão 2: [C]

O resultado é igual a 20 • 20 • 8 – 19 • 19 • 7 = 3200 – 2527 = 673cm³.

Resposta da questão 3: [B]

Calculando:

V = 3 • 5 • (1,7 – 0,5) = 18m³ ou 18.000L

V produto = 18 • 1,5 = 27mL

Resposta da questão 4: [B]

Sabendo que o volume é proporcional à altura, podemos afirmar que o volume ocupado pelas pedrinhas

corresponde à altura de 60 – 30-  10 = 20 cm.

Assim, o volume ocupado pelas pedrinhas corresponde a 40 • 35 • 20 = 28000 cm³.

A resposta é:

Resposta da questão 5: [B]

Desde que 1,4 • 34 = 2m e 0,8 • 7 = 5,6m, podemos concluir que o modelo que atende às necessidades do cliente é o II.

E aí, o que achou do texto sobre Paralelepípedo: fórmula, volume e área? Curtiu?
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