Os chamados números naturais são considerados, como o próprio nome indica, números que se referem aos objetos da natureza, do mundo.
Em nossas vidas, é fácil reconhece-los: eles são aqueles que ensinamos às crianças e que elas logo aprendem a recitar – um, dois, três, quatro, cinco, e assim por diante. Eles servem, primariamente, para contar e para ordenar.
É comum pensarmos que os números naturais são, de fato, naturais, já que os aprendemos muito cedo e achamos que contar é algo quase que evidente.
Porém, eles possuem uma história que, ainda que muito antiga, nos lembra de que eles são uma invenção fundamental para muitas outras coisas que a humanidade veio a desenvolver. Vejamos um pouco mais sobre esse tema!
Um breve percurso histórico
Os números naturais surgiram em diversas civilizações, geralmente representados por riscos em algum objeto, ou por um conjunto de pequenos objetos que representasse outros objetos.
Acredita-se que a necessidade de contar apareceu quando a humanidade ainda era nômade, estando relacionada à caça, aos membros de um grupo, à coleta de alimentos.
Assim, riscos em um tronco ou pequenas pedras podiam representar conjuntos de pessoas ou animais, e podemos dizer que os números naturais têm sua origem aí.
Depois, nas civilizações agrárias, a habilidade de contar certamente ajudou aos pastores e agricultores, que podiam controlar melhor seus rebanhos e plantações.
Com o tempo, cada civilização desenvolveu diferentes formas de representar os números graficamente. Os babilônios, milênios antes da Era Comum, já possuíam um sistema numérico posicional capaz de representar números naturais bem grandes.
Os egípcios antigos, por exemplo, possuíam um sistema de hieróglifos que os permitia representar números naturais até o um milhão. Além desses exemplos, na Mesoamérica, na região da Índia e da China os números naturais também eram pensados e representados.
Definição e propriedades
O conjunto dos números naturais é representado pelo letra . Em nosso sistema numérico, chamado de indo-arábico, o conjunto dos números naturais é esse listado abaixo:
N = {0, 1, 2, 3, 4…}
Vamos ver algumas propriedades importantes sobre ele?
- Todo número natural diferente de zero possui um sucessor e um antecessor. Por exemplo, 10 é sucessor do 9 e antecessor do 11. O número zero possui apenas um sucessor.
- O conjunto dos números naturais é chamado de conjunto discreto, pois seus elementos podem ser representados por pontos. O conjunto dos números reais, por exemplo, não é discreto, pois sua representação é uma reta.
- Entre dois números naturais consecutivos não há nenhum outro número natural, essa é outra explicação para chamarmos o conjunto de discreto. Por exemplo, entre os números 1 e 2 não há nenhum outro número natural.
- Entre dois números pares, há um ímpar e entre dois ímpares, há um par.
E o zero, é natural ou não?
Aqui em cima, quando definimos o conjunto dos números naturais, incluímos o zero. Mas você acredita que isso não é um consenso entre os matemáticos? Essa é uma questão um tanto complexa.
Assim como costumamos considerar os números naturais evidentes, também achamos comum que exista o zero. No entanto, o uso do numeral zero na atualidade se remete ao matemático indiano Brahmagupta no ano de 628! Isso, mesmo que há mais de um milênio, em termos históricos, é bem recente.
Desde então, tem sido objeto de discussão entre os matemáticos se o zero faz parte dos números naturais ou não.
Tradicionalmente, o conjunto dos números naturais inicia no 1 e se estende até o infinito. Porém, na Europa do século XIX, diversos matemáticos discutiam sobre as definições dos números naturais.
Os chamados naturalistas afirmavam que esses números eram consequência direta da psique humana. Em oposição a eles, os construtivistas demandavam definições lógicas mais rigorosas para os fundamentos da matemática.
Uma dessas definições é a de que um número natural é definido como um conjunto no qual todos os elementos diferentes de zero possuem um sucessor e um antecessor. Assim, nessas definições, é conveniente adicionar o zero ao conjunto dos números naturais.
Bom, mas e você? Sente no seu coração que o zero é natural ou não? Depois conta para gente! Vamos agora a alguns exercícios com números naturais.
Exercícios
1. Uma professora de matemática organizou uma atividade associando um ábaco a três dados de diferentes formatos: um cubo com faces numeradas de 1 a 6, associadas à haste C, um octaedro com faces numeradas de 1 a 8, associadas à haste D, e um dodecaedro com faces numeradas de 1 a 12, associadas à haste U. Inicialmente, as hastes do ábaco encontram-se vazias.As letras C, D e U estão associadas a centenas, dezenas e unidades, respectivamente. A haste UM representa unidades de milhar.
Regras do jogo: são jogados os três dados juntos e, a cada jogada, colocam-se bolinhas nas hastes, correspondendo às quantidades apresentadas nas faces voltadas para cima de cada dado, respeitando a condição “nunca dez”, ou seja, em cada haste podem ficar, no máximo, nove bolinhas.
Iniciada a atividade, um aluno jogou os dados duas vezes. Na primeira vez, as quantidades das faces voltadas para cima foram colocadas nas hastes. Nesta jogada, no cubo, no octaedro e no dodecaedro, as faces voltadas para cima foram, respectivamente, 6, 8 e 11 (Figura 1).
Na segunda vez, o aluno jogou os dados e adicionou as quantidades correspondentes, nas respectivas hastes.O resultado está representado no ábaco da Figura 2.
Assim, toda vez que a quantidade de bolinhas em alguma haste for superior a nove, dez delas são retiradas dessa haste e uma bolinha é colocada na haste imediatamente á esquerda. Bolinhas, em quantidades iguais aos números obtidos na face superior dos dados, na segunda jogada, são acrescentadas às hastes correspondentes, que contêm o resultado da primeira jogada.
De acordo com a descrição, as faces voltadas para cima no cubo, no octaedro e no dodecaedro, na segunda jogada, foram, respectivamente,
a) 4, 2 e 9.
b) 4, 3 e 9.
c) 4, 3 e 10.
d) 5, 3 e 10.
e) 5, 4 e 9.
2. Em um aeroporto, os passageiros devem submeter suas bagagens a uma das cinco máquinas de raio-X disponíveis ao adentrarem a sala de embarque. Num dado instante, o tempo gasto por essas máquinas para escanear a bagagem de cada passageiro e o número de pessoas presentes em cada fila estão apresentados em um painel, como mostrado na figura.
Um passageiro, ao chegar à sala de embarque desse aeroporto no instante indicado, visando esperar o menor tempo possível, deverá se dirigir à máquina:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Gabarito
1. B
1ª jogada → 6, 8 e 11
Unidade = 11 – 10 = 1
Dezena = 8 + 1 = 9
Centena = 6
Milhar = 0
Assim, o número era 691.
2ª jogada → x, y e z.
Unidade = 1 + z = 10 → z = 9
Dezena = 9 + 1 + y= 12 → y = 2
Centena = 6 + 1 + x = 11 → x = 4
Milhar = 1
X, y e z = 4, 2 e 9.
2. B
O tempo de espera nas máquinas 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente iguais a
I) 35.5 = 175s
II) 25.6 = 150s
III) 22.7 = 154s
IV) 40.4 = 160s
V) 20.8 = 160s
Portanto, o passageiro deverá se dirigir à máquina 2.
E aí, o que achou do texto sobre números naturais? Curtiu? Então vem estudar com a gente! Conheça o nosso cursinho preparatório para o Enem!
