O que é média ponderada e como calcular

A estatística é o ramo da matemática que estuda a coleta, a análise e a interpretação de dados de uma amostra. Nesse sentido, para entender melhor os dados de uma amostra, nos valemos de medidas estatísticas como média aritmética simples, média aritmética ponderada, mediana, moda, desvio padrão, entre outros. 

Sabemos que o ENEM ama estatística. Em todas as edições, há mais de uma questão sobre o assunto. Muitos alunos gostam, mas poucos realmente entendem o conteúdo. Por isso, neste texto, falaremos um pouco mais sobre a média ponderada. Você sabe calcular? Sabe quando usá-la? Vamos lá!

Média aritmética simples

Antes de falarmos da média ponderada, é necessário falarmos rapidamente da média aritmética simples. Seu conceito é o seguinte:

“A média de uma amostra é calculada pela razão entre a soma de seus elementos e o número de elementos dessa amostra.”

Por exemplo: seja um grupo de 3 pessoas e k o conjunto das idades dessas 3 pessoas. . Calculando a média da idade desse grupo, temos:

O que é média ponderada?

A grande diferença entre a média simples e a média ponderada é que, na simples, todos os valores da amostra contribuem uma única vez no cálculo. Já na média ponderada, os elementos da amostra podem contribuir mais de uma vez na conta. Resumidamente, na média ponderada, atribuímos um peso a cada elemento da amostra e esse peso altera o resultado da média. Dá uma olhada nesse exemplo:

Em uma escola, há 4 provas de matemática no ano. Para um aluno ser aprovado nessa disciplina, ele precisa ter média anual maior ou igual a 7. A prova 1 possui pelo 1, a prova 2, peso 2, a prova 3, peso 3 e a prova 4, peso 4. Abaixo, temos o quadro de notas de um aluno.

Podemos calcular a média simples desse aluno bem rapidamente:

Ou seja, infelizmente, esse aluno não passaria em matemática. Entretanto, cada uma das provas possui um peso, o que faz com que a média simples não seja aplicável nesse exemplo. Ok, mas, então, como posso calcular a média ponderada?

Como calcular a média ponderada de uma amostra?

 A média aritmética ponderada de um conjunto   de n valores para a variável x, onde cada valor tem seu peso p, é dada pela expressão:

Assim, fica simples de calcular a média do aluno:

Olha que maravilha! O aluno passaria em matemática. Vejam que o cálculo da média ponderada é bem simples.

Uma dica que podemos dar a todos vocês é pensar na média ponderada como uma média simples em que os elementos são contados mais do que uma vez. Na verdade, podemos entender os pesos dos elementos como a frequência desse elemento em uma amostra. Tem como explicar melhor? Claro! 

Pensa comigo: a prova 1 tinha peso 1, o que significa que ela será contada apenas uma vez na média. A prova 2 tinha peso 2, o que significa que ela será contada duas vezes no cálculo da média. De maneira análoga, vemos que a nota das provas 3 e 4 serão contadas 3 e 4 vezes, respectivamente, no cálculo da média. Ou seja, podemos entender a amostra com as notas do aluno como sendo e, assim, basta fazer uma média aritmética simples.

Viu só? É bem interessante notar que, se uma amostra possui elementos repetidos, então sua média será ponderada. Encarar os pesos de um elemento como sendo a frequência daquele elemento da amostra será um adianto!

Vamos treinar?

Exercícios do ENEM

1. (Enem 2019)  Em uma fábrica de refrigerantes, é necessário que se faça periodicamente o controle no processo de engarrafamento para evitar que sejam envasadas garrafas fora da especificação do volume escrito no rótulo.

Diariamente, durante 60 dias, foram anotadas as quantidades de garrafas fora dessas especificações. O resultado está apresentado no quadro.

A média diária de garrafas fora das especificações no período considerado é 

• a) 0,1
• b) 0,2
• c) 1,5
• d) 2,0
• e) 3,0

 2. (Enem 2018)  A Comissão Interna de Prevenção de Acidentes (CIPA) de uma empresa, observando os altos custos com os frequentes acidentes de trabalho ocorridos, fez, a pedido da diretoria, uma pesquisa do número de acidentes sofridos por funcionários. Essa pesquisa, realizada com uma amostra de 100 funcionários, norteará as ações da empresa na política de segurança no trabalho.

Os resultados obtidos estão no quadro.

A média do número de acidentes por funcionário na amostra que a CIPA apresentará à diretoria da empresa é 

• a) 0,15
• b) 0,30
• c) 0,50
• d) 1,11
• e) 2,22

 3. (Enem 2017)  A avaliação de rendimento de alunos de um curso universitário baseia-se na média ponderada das notas obtidas nas disciplinas pelos respectivos números de créditos, como mostra o quadro:

Quanto melhor a avaliação de um aluno em determinado período letivo, maior sua prioridade na escolha de disciplinas para o período seguinte.

Determinado aluno sabe que se obtiver avaliação “Bom” ou “Excelente” conseguirá matrícula nas disciplinas que deseja. Ele já realizou as provas de 4 das 5  disciplinas em que está matriculado, mas ainda não realizou a prova da disciplina I, conforme o quadro.

Para que atinja seu objetivo, a nota mínima que ele deve conseguir na disciplina I é 

1. a) 7,00
2. b) 7,38
3. c) 7,50
4. d) 8,25
5. e) 9,00

Gabarito:

Resposta da questão 1:
[B]

A resposta é dada por

 Resposta da questão 2:
[D]

Considere a tabela.

A resposta é dada por

Resposta da questão 3:
[D]

Calculando:

Esse é um dos temas importantes para a sua preparação par ao Enem. Caso você queira ter acesso a diversos conteúdos completos como esse, além de aulas e monitorias com os melhores professores do Brasil, conheça o Cursinho Pré Vestibular da Descomplica.