A geometria é um dos temas que mais caem no ENEM, cerca de 27% de sua prova é composta por questões de geometria, seja plana, espacial ou analítica.
Neste artigo vamos apresentar as três frentes da geometria e suas principais fórmulas, além de alguns exercícios resolvidos, então se liga no conteúdo para aprender tudo!
Geometria plana
A geometria plana é o estudo das formas geométricas que possuem apenas duas dimensões, como quadrado, triângulo, retângulo, trapézio e outros.
Aqui vamos focar nas suas fórmulas de áreas e algumas propriedades.
Área de figuras planas
O cálculo das áreas pode ser feito também pelos princípios de partição e exclusão, veja abaixo o esquema:
Polígonos: propriedades
Teorema de Tales
Geometria Espacial
A geometria espacial estuda as formas geométricas que possuem três dimensões (altura, largura e comprimento), como é o caso dos prismas, pirâmides, cilindro, cone e esferas.
Aqui iremos apresentar as fórmulas de áreas e volumes de cada um dessas formas geométricas!
Volume e área
Em resumo, os volumes podem ser calculados pelo princípio de Cavalieri:
Geometria Analítica
A geometria analítica estuda a geometria utilizando as expressões algébricas, partindo do plano cartesiano.
Os pontos mais importantes dela são: distância entre pontos, equação da reta e distância entre ponto e reta.
Distância entre pontos
Equações da reta
Coeficiente angular
Pelo coeficiente angular podemos saber se a reta é crescente ou decrescente, além de poder fazer relações entre as retas.
Distância entre ponto e reta
Exercícios do ENEM sobre Geometria
Veja alguns exercícios abaixo e tente resolver, o gabarito está no final deste post.
1) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.
O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.
Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em
a) 8π.
b) 12π.
c) 16π.
d) 32π.
e) 64π.
2) Um mestre de obras deseja fazer uma laje com espessura de 5 cm utilizando concreto usinado, conforme as dimensões do projeto dadas na figura. O concreto para fazer a laje será fornecido por uma usina que utiliza caminhões com capacidades máximas de 2 m³, 5 m³ e 10 m³ de concreto.
Qual a menor quantidade de caminhões, utilizando suas capacidades máximas, que o mestre de obras deverá pedir à usina de concreto para fazer a laje?
a) Dez caminhões com capacidade máxima de 10 m³.
b) Cinco caminhões com capacidade máxima de 10 m³.
c) Um caminhão com capacidade máxima de 5 m³.
d) Dez caminhões com capacidade máxima de 2 m³.
e) Um caminhão com capacidade máxima de 2 m³.
3) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá
a) diminuir em 2 unidades.
b) diminuir em 4 unidades.
c) aumentar em 2 unidades.
d) aumentar em 4 unidades.
e) aumentar em 8 unidades.
Gabarito
1 = A
Temos que a área de uma circunferência é dada pela fórmula πr².
A área ocupada pelas antenas antigas era de 8π, que temos que duas circunferência de raio 2, ou seja área = 2.2².π
Já a área coberta pela nova antena é de 16π, pois o seu raio, analisando a figura, vale 4. Assim, área = 4²π.
Ou seja, a área aumentou de 8π.
2 = C
Dividindo em áreas conhecidas, temos os retângulos de dimensões 8m x 8m, 1m x 7m e 3m x 5m. Calculamos o volume:
0,05(8×8+1×7+3×5) = 4,3.
Portanto, um caminhão com capacidade máxima de 5 m³ será suficiente.
3 = C
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (0,0) e (6,12) é 12/6 = 2. Sendo 16/4 = 4 o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (0,0) e (4,16), podemos concluir que o coeficiente angular deverá aumentar em 4 – 2 = 2 unidades.
Todas as fórmulas de geometria que você precisa saber
Confere esse nosso vídeo no Youtube dessa aula incrível com a Prof. Luanna:
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