Quando você escuta alguém falar em matemática, a primeira coisa que vem à cabeça é números. Provavelmente, a segunda é equação, não é? A matemática é muito conhecida pelos números, mas, com o tempo, vamos nos acostumando a ver algumas letras aparecerem nos exercícios: x, y…
As letras representam, nas equações, o número que queremos descobrir e que resolve uma questão. As equações são um excelente recurso para resolver problemas práticos, mas, para isso, temos que saber escrevê-las corretamente. Neste texto você vai aprender sobre as equações para poder usá-las em sua vida e para arrasar no Enem!
Contexto Histórico
Diversas pessoas de culturas variadas contribuíram com o campo da álgebra, campo no qual estão incluídas as equações. Costumamos considerar o conhecimento matemático como linear e contínuo, mas, especialmente na álgebra, a construção é múltipla. Por volta dos anos 1900 – 1600 a.e.c, os babilônios já resolviam problemas algébricos com seu sistema numérico. Os antigos egípcios também deixaram documentos que mostram como resolviam equações do primeiro grau. Os gregos antigos, na época de Platão, possuíam uma álgebra geométrica, na qual os lados de figuras geométricas ajudavam a resolver problemas algébricos.
Além desses exemplos, a álgebra dos dias de hoje foi construída com as contribuições dos chineses, dos hindus e dos árabes. Destacam-se especialmente as contribuições dos árabes, sendo o matemático persa Al-Khwarizmi considerado o pai da álgebra. O nome “álgebra” vem do árabe e se acredita que o famoso “x”, que é a representação mais comum da incógnita das equações, também deriva do idioma árabe, da palavra de designa “coisa” nesse idioma.
Definição de equação
Uma equação é uma asserção que afirma uma igualdade. Dito de outra forma, uma equação é declaração verdadeira que contém uma relação de igualdade. Isso é mais fácil de ser compreendido com um exemplo:
x + 5 = 7
O que essa equação representa é que há um número, ao qual, se somarmos 5, o resultado será 7. Em outras palavras, 5 somado a uma incógnita é igual a 7. O mesmo acontece em qualquer equação, seja ela de qualquer tipo: devemos encontrar o valor da incógnita que faça a sentença ser verdadeira. Esse valor encontrado é chamado de raiz da equação. Assim, qual é a raiz da equação X + 5 = 7? Acertou quem falou 2!
Falando especificamente de uma equação do primeiro grau, elas sempre serão da forma ax + b = 0 e a raiz da equação é calculada por x = -b/a. Usando o exemplo anterior, x + 5 = 7, podemos reestruturá-la para que ela fique no formato padrão:
x + 5 = 7
x + 5 – 7 = 0
x – 2 = 0
Assim, podemos calcular sua raiz usando a fórmula:
Mesmo usando essas fórmulas, temos coisas importantes a falar a resolução de uma equação do primeiro grau. Vejamos!
Como resolver uma equação de primeiro grau
A forma de resolver qualquer equação de uma variável é manter a relação de igualdade e isolar a incógnita. Isso é bem simples de entender, e importante de lembrar. Sempre que falamos em “passar para o outro lado”, “cortar”, “simplificar”, “inverter o sinal”, nada mais é do que realizar operações que mantém a igualdade e isolam a incógnita. Vamos ao exemplo:
Assim, encontramos 5 como raiz da equação.
Temos diversos de outros tipos de equações, como a exponencial, logarítmica, quadrática, mas deixamos para um próximo texto, ok?
Vamos treinar, agora!
Exercícios:
1. Duas irmãs viajaram juntas nas férias de julho. Ao retornarem, elas selecionaram 12 dezenas de fotos para postar, durante alguns dias, em uma rede social.
Considere que a quantidade de fotos postadas a cada dia correspondeu ao dobro da quantidade do dia anterior, e que o tempo gasto para postar todas as fotos foi de 4 dias.
Foram postadas, no último dia,
- a) 64 fotos
- b) 32 fotos
- c) 16 fotos
- d) 8 fotos
2. Entre as tarefas de um professor, está a elaboração de exercícios. Professores de Matemática ainda hoje se inspiram em Diofanto, matemático grego do século III, para criar desafios para seus alunos. Um exemplo de problema diofantino é: “Para o nascimento do primeiro filho, o pai esperou um sexto de sua vida; para o nascimento do segundo, a espera foi de um terço de sua vida. Quando o pai morreu, a soma das idades do pai e dos dois filhos era de 240 anos. Com quantos anos o pai morreu?”
Considerando que, quando o pai morreu, ele tinhaanos, assinale a equação matemática que permite resolver esse problema.
- a)
- b)
- c)
- d)
- e)
3. Ana coleciona figurinhas para colar no álbum da Copa do Mundo. Se ela ganhasse mais 24 não repetidas, ficariam faltando 4/31 do álbum para completar a coleção. Sabendo que um álbum completo tem 682 figurinhas, calcule quantas Ana possui agora.
- a) 550
- b) 570
- c) 590
- d) 610
- e) 630
4. Sendo x a solução da equação 
então o valor correspondente ao valor de E na equação E = 49x é?
- a) 7
- b) 11
- c) 11/7
- d) 111
- e) 77
5. Quando José estava indo ao ponto de ônibus que fica a 420m de sua casa, parou para conversar com um amigo. Em seguida, andou o triplo do que já havia caminhado chegando ao ponto de ônibus. Assinale a alternativa que apresenta quanto faltava em metros para ele chegar ao ponto de ônibus.
- a) 105
- b) 125
- c) 150
- d) 350
- e) 315
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
Considerando que x seja o número de fotos postadas no primeiro dia, obtemos a seguinte equação:
x + 2x + 4x + 8x = 12 . 10
15x = 120
x = 8
Portanto, no último dia foram postadas 8 . 8 = 64.
Resposta da questão 2:
[A]
Se o pai morreu com x anos, então a idade do primeiro filho no dia da morte do pai era 
enquanto que a do segundo era 
Portanto, sendo 240 anos a soma das idades dos três quando o pai morreu, temos 
Resposta da questão 3:
[B]
Considerando que seja a quantidade de figurinhas que Ana possui, podemos escrever:
Portanto, Ana possui 570 figurinhas.
Resposta da questão 4:
[E]
Desenvolvendo temos:
Logo,
Resposta da questão 5:
[E]
Portanto, a distância que ainda falta para chegar até o ponto é:
d = 3 . 105 = 315m
