Geometria analítica, plano cartesiano, distância e reta
Estudada através do plano cartesiano e dos princípios da álgebra e da análise, a geometria analítica contrasta com a abordagem da geometria plana.
A geometria analítica também é conhecida como geometria de coordenadas e geometria cartesiana. Ela é estudada através dos princípios da álgebra e da análise, contrastando com a abordagem sintética da geometria euclidiana (plana), na qual certas noções são consideradas primitivas.
É um campo matemático no qual são utilizados métodos e símbolos algébricos para representar e resolver problemas geométricos. Sua importância está no fato de que estabelece uma correspondência entre equações algébricas e curvas geométricas, através do plano cartesiano, o que torna possível a reavaliação de problemas na geometria como problemas equivalentes na álgebra, e vice-versa. Isso quer dizer que os métodos de um âmbito podem ser utilizados para solucionar problemas no outro.
Esta geometria é muito importante para as áreas da física e da engenharia, e é fundamental nas mais modernas geometrias, incluindo geometria algébrica, diferencial, discreta e computacional.
Agora vamos ver um pouquinho desse mundo tão útil e encantador!
Distância entre Dois Pontos
Dados os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), a distância d entre A e B, no plano cartesiano, é dada por:
Ponto Médio
Dados os pontos A(1, y1) e B(x2, y2), as coordenadas do ponto médio do segmento AB são:
Teorema: Condição para o Alinhamento de Três Pontos
Os pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) são colineares no plano cartesiano. Se, e somente se, suas coordenadas satisfazem a igualdade, temos que:
Equação Geral da Reta
Sabendo que uma reta r passa pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) do plano cartesiano, sua equação é dada pelo seguinte determinante:
Desenvolvendo o determinante:
Teorema
Toda equação da forma ax + by + c = 0, com a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ou b ≠ 0, está associada a uma única reta r no plano cartesiano, cujos pontos P(x, y) são as soluções da equação dada.
Posições Relativas de Duas Retas
Temos duas retas no plano cartesiano: r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0. Elas podem ser concorrentes, paralelas ou coincidentes. Serão…
- … concorrentes se:
- … paralelas se:
- … coincidentes se:
Coeficiente Angular
Uma reta que passa pelo ponto P(x0, y0) do plano cartesiano tem como equação y – y0 = m.(x – x0). Sendo m o coeficiente angular, consequentemente:
Condição de Perpendicularismo
Para que duas retas r e s, não verticais, sejam perpendiculares no plano cartesiano, temos que mr.ms = -1, isto é, o produto de seus coeficientes angulares tem que ser igual a -1.
O Ângulo entre Duas Retas
O ângulo formado por duas retas m e s é aquele cuja tangente é dada por:
Distância entre Ponto e Reta
Dados o ponto P(x0, y0) e a reta r: ax + by + c = 0, a distância d entre o ponto P e a reta r no plano cartesiano:
Área do Triângulo
A área de um triângulo de vértices A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) é dada pelo semideterminante dos vértices.
Exercícios
1. (Unirio) A função linear f(x) = ax + b é representada por uma reta que contém o ponto (2,-1) e que passa pelo vértice da parábola y = 4x – 2x². A função é:
a) f(x) = -3x + 5
b) f(x) = 3x – 7
c) f(x) = 2x – 5
d) f(x) = x – 3
e) f(x) = x/3 – 7/3
2. (Pucsp) Os pontos A=(-1; 1), B=(2; -1) e C=(0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. A equação da reta suporte da diagonal BD, desse quadrado, é:
a) x + 5y + 3 = 0.
b) x – 2y – 4 = 0.
c) x – 5y – 7 = 0.
d) x + 2y – 3 = 0.
e) x – 3y – 5 = 0.
GABARITO
1. A
2. C
