Compreendendo a gravitação: as Leis de Kepler e a Gravitação Universal!

A gravidade é uma das quatro forças fundamentais da natureza e aquela responsável por gerar peso aos corpos.
De fundamental importância pra Física, o estudo da gravitação nos permite compreender a ocorrência de diversos fenômenos, sejam aqueles mais próximos de nossa percepção, como a queda de objetos, quanto os observados em escalas astronômicas.
É neste último ponto que o estudo da gravitação tem mais relevância. Diferentes estudiosos vêm, ao longo de séculos, formulando teorias pra descrever e explicar como se dá a interação e o movimento dos planetas.
A Lei da Gravitação Universal, formulada por Isaac Newton, e as Leis de Kepler, propostas por Johannes Kepler, descrevem como a ação da gravidade e interação dos corpos ocorrem.

Quais são as leis de Kepler?

Formuladas pelo astrônomo e matemático alemão, as três Leis de Kepler descrevem os movimentos dos planetas considerando um referencial fixo no Sol, chamados de modelos heliocêntricos.

1ª Lei de Kepler

A lei das órbitas descreve que o movimento dos planetas ao redor do Sol se dá de forma elíptica (oval), sendo que ele ocupa um dos focos.

2ª Lei de Kepler

A lei das áreas descreve que a linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempo iguais, o que resulta em diferentes velocidades no decorrer da trajetória, dependendo da posição do planeta.

3ª Lei de Kepler

A lei dos períodos diz que o quadrado do período de revolução (T) dos planetas é diretamente proporcional ao cubo dos raios médios (R) de suas órbitas.
Portanto, temos:

Sendo que:
T = tempo de translação do planeta
R = raio médio, ou semieixo, da órbita do planeta;
k = constante que depende da massa do Sol, denominada de constante de Kepler.
As Leis de Kepler não se aplicam somente às órbitas de planetas ao redor de uma estrela como o Sol. 
Elas são consideradas pra qualquer corpo que orbita ao redor de outro corpo, tendo como referencial um que esteja em repouso e que a interação entre ele seja gravitacional.

O que é a Lei da Gravitação Universal?

Formulada por Newton, a Lei da Gravitação Universal descreve que dois corpos irão sofrer, reciprocamente, a ação de uma força atrativa proporcional ao produto de sua massa e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa.
A fórmula desta lei, chamada de Fórmula da Lei de Gravidade Universal, é representada por:

Sendo que,
F = Força de interação gravitacional (N)
G = Constante de gravitação universal (G = 6,67 x 10 – 11 N.m²/kg²)
M = Massa do maior corpo (kg)
m = Massa do menor corpo (kg)
d = Distância entre os corpos (m)

Qual a relação entre a gravitação universal e as leis de Kepler?

A terceira lei de Kepler na forma derivada por Newton, possibilita que sejam determinadas as massas de corpos astronômicos, desde que um deles esteja orbitando o outro. Nesta dinâmica, é possível medir o período do sistema e a separação entre os dois corpos.
O resultado, ou seja, a massa, sempre do sistema, que é soma dos dois corpos.

Exercícios

1. (MACKENZIE-SP) De acordo com uma das leis de Kepler, cada planeta completa (varre) áreas iguais em tempos iguais em torno do Sol.

Como as órbitas são elípticas e o Sol ocupa um dos focos, conclui-se que:
I- Quando o planeta está mais próximo do Sol, sua velocidade aumenta
II- Quando o planeta está mais distante do Sol, sua velocidade aumenta
III-A velocidade do planeta em sua órbita elíptica independe de sua posição relativa ao Sol.
Responda de acordo com o código a seguir:

• a) somente I é correta
• b) somente II é correta
• c) somente II e III são corretas
• d) todas são corretas
• e) nenhuma é correta

2. (UFMG-2008) Três satélites – I, II e III – movem-se em órbitas circulares ao redor da Terra.
O satélite I tem massa m e os satélites II e III têm, cada um, massa 2m . Os satélites I e II estão em uma mesma órbita de raio r e o raio da órbita do satélite III é r/2. Sejam F_I , F_II e F_III módulos das forças gravitacionais da Terra sobre, respectivamente, os satélites I, II e III .
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que

• a) F_I= F_II< F_III.
• b) F_I = F_II > F_III .
• c) F_I < F_II < F_III .
• d) F_I < F_II = F_III
• e) F_I =F_II=F_III

3. (ENEM) As leis de Kepler definem o movimento da Terra em torno do Sol. Qual é, aproximadamente, o tempo gasto, em meses, pela Terra para percorrer uma área igual a um quarto da área total da elipse?

• a) 9
  b) 6
  c) 4
  d) 3
  e) 1

Gabarito
1. A
O enunciado fala da segunda lei de Kepler. Para que o planeta consiga percorrer áreas iguais no mesmo intervalo de tempo, quando está mais próximo ao Sol, sua velocidade tem que ser um pouco maior. Logo, somente a 1 está correta.
2. C

3. D
Vamos fazer uma regra de três. Para completar uma volta completa em torno do sol, a terra leva 12 meses. Para percorrer um quarto dessa área, irá levar T meses.
1 volta — 12 meses
1/4 volta — T meses
Logo, T igual a 3 meses.
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