Hoje, preparamos um material especial de matemática pra quem está focado no Enem: vamos relembrar o que é o conjunto das partes e resolver alguns exercícios pra reforçar esse conteúdo. Afinal, não há prova em que ele não esteja presente!
Primeiramente, vamos recordar alguns conceitos básicos sobre os conjuntos? Então, bora lá!
O que conjunto das partes?
Conjunto é um agrupamento de elementos com as mesmas características. Ele pode ser representado por diagramas ou por meio de chaves ({).
A identificação dos conjuntos pode ocorrer a partir da descrição das características ou mesmo pela quantificação de seus elementos.
Tipos de conjuntos
Uma maneira de identificar os conjuntos é a partir do número de elementos nele agrupados. Assim, temos:
Conjunto finito
O conjunto finito é aquele em que há uma quantidade limitada de elementos agrupados. Por exemplo, o conjunto de letras do alfabeto.
Conjunto infinito
Já no conjunto infinito, o número de elementos presentes é, como diz o nome, infinito. Por exemplo, o conjunto de todos os números pares.
Conjunto unitário
Quando um conjunto possui apenas um elemento, ele é um conjunto unitário. O conjunto de números pares entre os algarismos 1 e 3 é um exemplo. A representação deste conjunto seria {2}.
Subconjuntos
Os subconjuntos são todos os conjuntos contidos dentro de um determinado conjunto. Podemos entender que os subconjuntos são conjuntos menores, dentro de um conjunto maior.
Vamos dar um exemplo pra você entender: imagine que o conjunto A é formado pelos elementos 1, 2, 3 e 4. Assim, teremos como representação deste conjunto A = {1, 2, 3, 4}. E todos os conjuntos contidos em seu interior são os seus subconjuntos.
Assim, seus subconjuntos serão { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4} e {1,2,3,4}.
Antes de prosseguir, um esclarecimento: você reparou no primeiro item dessa lista, representado por { }? Ele é o conjunto vazio e também pode ser representado por Ø.
Mesmo que não possua nenhum elemento, o conjunto vazio é um subconjunto de todo e qualquer outro conjunto.
Você está acompanhando? Não fique para trás porque conjuntos é um dos tópicos certos na matemática do Enem!
Conjunto das partes
Chegamos agora ao tópico principal do nosso post. Todos os subconjuntos que possam existir em um determinado conjunto formam o seu conjunto das partes. E ele é representado pelo símbolo P. Assim, o conjunto das partes do conjunto A é P(A).
Pra encontrar o conjunto das partes de um determinado conjunto é preciso relacionar todos os seus subconjuntos. Foi o que fizemos no tópico acima, sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, quando explicamos o que são subconjuntos, você reparou?
Primeiramente, listamos o conjunto vazio, representado por { }, que é um subconjunto de todo conjunto. Depois, separamos os conjuntos com um elemento ({1}, {2}, {3}, {4}), com dois elementos ({1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}) e com três elementos ({1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4} e {1,2,3,4}).
Mas nem sempre é simples assim de se listar os subconjuntos de um conjunto. Quando ele tiver muitos elementos, será possível utilizar o cálculo 2n. Aqui, n representa o número de elementos do conjunto.
No exemplo do conjunto A = {1, 2, 3, 4}, temos 24, ou seja, o número de subconjuntos é 2 x 2 x 2 x 2 = 16.
Exercícios resolvidos: hora de praticar
Agora que já falamos um pouco das principais definições sobre os conjuntos, que tal praticar um pouco?
A seguir, separamos alguns exercícios resolvidos envolvendo conjunto das partes, extraídos de provas já realizadas. Eles são bastante semelhantes àqueles que você vai encontrar no próximo Enem. Então, vamos lá!
1. (Mackenzie – 2015) Se A = {xEN / x é divisor de 60} e B = {xEN / 1 ≤ x ≤ 5}, então o número de elementos do conjunto das partes de A∩B é um número:
- múltiplo de 4, menor que 48.
- primo, entre 27 e 33.
- divisor de 16.
- par, múltiplo de 6.
- pertencente ao conjunto {xER/ 32<x≤ 40}.
Confira a resolução:
Pra resolver a questão é preciso encontrar o número de elementos do conjunto das partes da interseção de A e B, usando:
n(P(A∩ B)) = 2∩ (a∩B)
No enunciado da questão encontramos apenas as características desses elementos. Primeiramente, é preciso identificar quais são os elementos de cada um dos conjuntos.
Pra A, temos os divisores naturais de 60:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
A questão solicita os elementos da interseção de A com B. Como o conjunto B tem como último elemento o 5, não precisamos ir além dele.
Já pra B, precisamos dos números naturais de 1 a 5, ou seja;
B = {1, 2, 3, 4, 5}
Logo, concluímos que o número de elementos da interseção entre A e B é igual a 5:
n (A∩B) = 5
Seguindo:
n(P(A∩ B)) = 2∩ (a∩B)
n(P(A∩ B)) = 25
n(P(A∩ B)) = 32
Gabarito: alternativa A
2. (ENEM) Em relação aos principais conjuntos numéricos, é CORRETO afirmar que:
- Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é racional.
- Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro.
- Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real.
- Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racional.
- Todo número irracional é real.
Gabarito: alternativa E
3. Se A é um conjunto que tem 255 subconjuntos não vazios, então A tem:
- 6 elementos
- 7 elementos
- 8 elementos
- 9 elementos
- 10 elementos
Resolução: Vamos lá! Sabemos que, n[Ƥ(A)]= 2x
E também sabemos que, dentre todas essas partes, existe o conjunto vazio que é um subconjunto de todos os outros conjuntos. O conjunto A possui 255 conjuntos não vazios e, consequentemente 1 vazio. Seguindo:
2x = 255 + 1
2x = 256
Por fatoração, descobrimos que
256 = 28
2x = 28
Em uma equação exponencial com as mesmas bases, basta igualar os expoentes e assim teremos que: x= 8.
Gabarito: alternativa C
E aí, como foi o seu desempenho nestes exercícios sobre conjunto das partes? Com a prática, você verá que o estudo dos conjuntos não é tão complicado como pode parecer. E é uma boa oportunidade de garantir algumas questões valiosas na prova de matemática do Enem.
Então, não deixe de praticar e garanta essa pontuação. No blog do Descomplica você encontra mais resumos e exercícios sobre este e outros temas que você encontrará na prova. Para ter um curso completo com os melhores professores do Brasil e uma metodologia que comprovadamente aprova para o Vestibular, conheça o nosso Pré-Enem!
