Saiba tudo sobre o MDC, o máximo divisor comum

O que é o MDC?

Todo número possui aquilo que chamamos de divisores, que são números que o dividem e deixam resto zero. Por exemplo, 3 é um divisor de 30, pois 30 é divisível por 3. Por outro lado, 5 não é um divisor de 12, pois ao efetuarmos a divisão entre 12 e 5, o resto é 2. Dá uma olhada nos divisores do 18 e do 24:

➝  D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

➝  D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Se olharmos com atenção, chegamos em duas conclusões:

• O 1 é sempre o menor divisor de um número.
• Ele mesmo é sempre o maior divisor de um número.

Tendo esse conceito bem firmado, podemos definir o que é o máximo divisor comum entre dois números. Como o nome indica, é o maior número inteiro positivo capaz de dividir cada um desses dois números. Repare que os números {1, 2, 3, 6} são divisores comuns entre 18 e 24. O máximo divisor comum entre eles é o 6, como podemos ver na lista.Vamos agora aprender a encontrar o MDC entre dois ou mais números sem precisar listar os divisores!

Como calcular o MDC?

Uma forma de calcular o MDC entre números é a da fatoração. Aliás, é por conta dos fatores que também podemos chamar o máximo divisor comum de maior fator comum. A fatoração nada mais é que o processo pelo qual decompomos um produto em seus elementos. Em outras palavras, é o cálculo que serve para descobrirmos os fatores que, multiplicados, resultam no nosso número escolhido. O cálculo ocorre da seguinte forma:

 

Ou seja, fatoramos os dois números utilizando apenas os fatores que dividem os dois números ao mesmo tempo. Terminando a fatoração quando não existir mais fator disponível para realizar a divisão simultânea. Assim, pelo exemplo acima, vemos que MDC (18,24) = 6. Bem mais rápido, não é?

Algoritmo de Euclides

Outra forma de encontrar o MDC entre dois números é através do Algoritmo de Euclides. É bem simples: Basta fazer divisões sucessivas entre eles, até encontrar o resto zero. Quando o resultado da divisão for zero, o MDC será o divisor dessa divisão. Esse método funciona, pois, o MDC não muda se do maior número for subtraído o menor. Legal né? Isso pode ser visto no exemplo: Vamos calcular MDC (96,144):➝ 1º passo: dividir 144 por 96.Vemos que o quociente é 1 e o resto é 48.➝ 2º passo: dividir 96 por 48.Nesta segunda divisão, o resto foi 0. Quando chegamos a esse ponto, podemos parar o algoritmo de Euclides. O divisor da primeira divisão a dar resto zero é o MDC procurado. Neste exemplo,  foi o 48, então ele é o resultado do MDC. Assim, MDC (96,144) = 48.O passo a passo é sempre esse: fazendo divisões sucessivas até que o resto seja 0. Quando isso acontecer, o divisor dessa operação será o MDC. É importante notar que, com o algoritmo de Euclides, não precisamos fatorar nenhum número, basta realizar as divisões. 

MDC = 1? Números primos entre si!

Apesar de o nome do conceito parecer complicado, ele se refere a uma situação bem simples: quando o único divisor comum entre dois números é 1, dizemos que eles são primos entre si. Os números 4 e 15, por exemplo, são primos entre si. Os divisores de 4 são: {1, 2, 4}. Os de 15 são: {1, 3, 5, 15}. Podemos ver que, em comum entre seus divisores, há apenas o 1. Outra coisa importante de ser observada é que números primos entre si não precisam ser números primos. No exemplo acima, de 4 e 15, nenhum deles é primo separadamente, mas eles são primos entre si. No entanto, qualquer par de números primos, como 13 e 19, ou 11 e 29, será de primos entre si. Basta nos lembrarmos de que todo número primo só é divisível por ele mesmo ou por 1. Assim, todos os números primos são primos entre si, mas nem todos os primos entre si são primos! Agora tente falar essa frase rápido 3 vezes seguidas.

Propriedades

O principal sobre MDC já foi visto acima. Agora, vamos listar duas propriedades que são super simples e mega importantes em algumas questões:

• Se b > 0 é um divisor de a, então MDC (a,b) = b

Para complicado, mas um exemplo disso é o MDC (6,36). A gente pode calcular esse MDC normalmente, mas, aplicando a propriedade, podemos dizer logo de cara que o resultado é 6, pois 6 é divisor de 36.

• Todo número que for divisor comum de a e b também é um divisor de MDC (a,b).

Uma aplicação dessa propriedade é o seguinte: seja MDC (18,24) = 6 , como vimos antes. Repare que os números 18 e 24 possuem outros divisores em comum, como o número 2. A propriedade nos diz que 6 também é divisível por 2. É só isso!Para fechar, separamos um exercício para vocês verem como isso é cobrado em prova!

Exercícios

Questão 1

O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:

1. cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; 
2. todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos; 
3. não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos). 

O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é 

a) 2.b) 4.c) 9.d) 40.e) 80.

Gabarito

1. C

O número mínimo de escolas beneficiadas ocorre quando cada escola recebe o maior número possível de ingressos. Logo, sendo o número máximo de ingressos igual ao MDC entre 400 e 320, temos que calculá-lo. Pelo algoritmo de Euclides, temos:Assim, MDC (400,320) = 80. Agora, podemos calcular o número de escolar como sendo a divisão entre o número total de ingressos e o número de ingressos que cada escola receberá.Portando, como , segue que a resposta é 5 + 4 = 9.

E aí, o que achou do texto sobre máximo divisor comum mdc? Curtiu? Então vem estudar com a gente! Conheça o nosso cursinho preparatório para o Enem!