Neste post você vai conferir as necessidades para o surgimento de cada conjunto numérico.
Quem está estudando e se preparando pra prestar vestibular ou concurso, precisa saber o que são os conjuntos numéricos, principalmente pra entrar em outros assuntos da matemática.
Sendo assim, os conjuntos numéricos nada mais são do que os próprios números separados ou divididos em conjuntos diferentes.
Dentre eles estão os números inteiros, os naturais, racionais e irracionais, os reais e assim por diante. Dentro da matemática, é comum estudar esses conjuntos, assim como a teoria dos conjuntos.
Cada grupo possui suas próprias características, conceitos, subconjuntos e símbolos que também precisam ser estudados. Para entender melhor e aprender o que são conjuntos numéricos, continue lendo.
Veremos também as operações de alguns conjuntos e alguns exercícios para fixar!
O que são os Conjuntos Numéricos
Os conjuntos numéricos foram surgindo conforme a necessidade dos povos, começou pela necessidade de contagem um por um, e assim surgiu o conjunto dos números naturais.
Depois veio a necessidade de representar uma dívida, surgindo assim o conjunto dos números inteiros, quando surgiu a necessidade de dividir quantidades, mesmo que não inteiras, que surgiu o conjuntos dos racionais…
E a partir deste conjunto, tudo o que não cabia nele foi colocado no conjunto dos números irracionais, e a união de todos eles foi definida como o conjunto dos reais.
Veja abaixo um esquema em forma de diagrama:
Conjunto dos Números Naturais ℕ
O primeiro conjunto numérico a ser estudado é o conjunto dos naturais, que surgiu a partir do momento que foi sentido a necessidade da contagem de elementos.
Representação: ℕ
ℕ = {0, 1, 2, 4, 5, 6, …}
Dentro desse grupo, estão os números usados pra contar que vai desde 0 até o infinito. Portanto, ao estudar esse grupo, é comum também encontrar os subconjuntos dos números naturais, que são:
- ℕ* – {1, 2, 3, 4, 5,… n, …}, que também pode ser representado por ℕ* = ℕ – {0}, ou seja, o conjunto dos números naturais sem o zero, ou não-nulos.
- ℕₚ = O subconjunto está mostrando os pares.
- ℕᵢ = Neste subconjunto mostra os números ímpares.
Obs: A notação “*” simboliza o conjunto sem o elemento nulo.
Conjunto dos Números Inteiros ℤ
O conjunto dos números inteiros, representado por ℤ surgiu a partir do momento que surgiu a ideia de dívida, assim, entrando os números negativos.
ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Dentre os conjuntos numéricos, os inteiros são representados pela letra Z. Sendo assim, esse grupo reúne todos os números naturais e também seus opostos, que são os números negativos.
Nesse caso, ℕ é um subconjunto de ℤ. Além disso, dentro dos subconjuntos dos números inteiros estão:
- ℤ* = {…, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, …} ou Z – {0}, que são os números inteiros sem o zero ou não-nulos.
- ℤ+ = São números inteiros apenas positivos, que também pode ser = ℕ.
- ℤ*+ = São todos os números inteiros, positivos e negativos com exceção do zero.
- ℤ- = São os números inteiros negativos.
- ℤ*- = São os números inteiros negativos sem o zero.
Conjunto dos Números Racionais ℚ
O conjunto dos racionais surgiram quando houve necessidade de representar uma parte de um inteiro e é todo número da forma a/b , com b diferente de zero.
Ou seja, são razões (quocientes) entre dois números inteiros. A definição formal é:
Os números racionais são representados pela letra Q e conta com todos os números diferentes de 0, ou seja, todos os números inteiros. Nesse caso, os números racionais possuem Z e N também como um subconjunto.
O diferencial dos números racionais está nas dízimas periódicas e também nas frações. Dentre os subconjuntos de números racionais estão:
- ℚ* = São todos os números racionais com exceção do 0.
- ℚ+ = Números racionais positivos incluindo o 0.
- ℚ*+ = Números racionais positivos sem o 0.
- ℚ- = Números racionais negativos com 0.
- ℚ*- = Números racionais negativos sem o 0.
Conjunto dos Números Irracionais I
Os números irracionais são números que não podem ser escritos sob a forma de fração pois são números decimais infinitos e não periódicos.
Como exemplos de números irracionais (I) podemos ter:
Conjunto dos Números Reais ℝ
Os números reais, representados por ℝ é a união dos conjuntos dos Racionais com os Irracionais. Ou seja,
Relação entre os conjuntos numéricos
Quando se estuda os conjuntos numéricos e seus subconjuntos, é possível identificar que alguns grupos se encontram dentro de outros. Essa relação foi mostrada, mas pra entender melhor como elas se interligam, veja abaixo um resumo:
- O conjunto numéricos dos números naturais, é um subconjunto de números inteiros, enquanto que os números inteiros também se encontram dentro de um subconjunto dos números racionais;
- O conjunto numérico dos números racionais pertence a um dos subconjuntos de números reais, enquanto que o conjunto de números irracionais é um subconjunto de números reais;
- Os números irracionais e os números racionais, não têm nenhum elemento igual ou em comum e o conjunto dos números reais é um subconjunto de números complexos.
De forma indireta é possível encontrar ainda mais relações se for avaliar o que cabe dentro do quê e quais subconjuntos pertencem a quais conjuntos.
Entretanto, pode-se dizer por exemplo, que o conjunto de números naturais também é um subconjunto de números complexos.
A leitura contrária das relações também é válida, assim como as relações indiretas são construídas. Por exemplo, um conjunto de números inteiros possui um conjunto de números naturais.
A simbologia é um pouco mais complicada, mas de forma escrita é assim que as relações funcionam.
Operações com conjuntos numéricos
Quando estamos operando com os números Racionais (ℚ), precisamos lembrar de algumas regras de frações.
Operações entre frações
Soma e subtração:
Caso os denominadores sejam iguais, bastar somar os numeradores e repetir o denominador.
Multiplicação:
Multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador, simplificando, se possível, o resultado.
Divisão:
Repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração
Exercícios sobre conjuntos numéricos com gabarito
1) Analise as informações abaixo:
I O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Inteiros.
II O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Racionais.
III O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Irracionais.
a) Apenas a afirmação I é verdadeira.
b) Apenas a afirmação II é verdadeira.
c) Apenas a afirmação I é verdadeira.
d) Apenas a afirmação I e II são verdadeiras.
e) Todas as afirmações são verdadeiras.
Resolução: D
2) Pitágoras estabeleceu a seguinte relação entre as sete notas musicais e números racionais:
3) (Cefet-CE) qual dos conjuntos é unitário:
- a) {x ∈ Z| x < 1}
- b) {x ∈ Z| x2 > 0}
- c) {x ∈ R| x2 = 1}
- d) {x ∈ Q| x2 < 2}
- e) {x ∈ N| 1 < 2x < 4}
Resp: E
4) Dentre todos os conjuntos numéricos, escolha a opção que estiver incorreta.
- a) Os números naturais são considerados números racionais.
- b) Um número no conjunto dos racionais não pode se enquadrar dentro dos irracionais.
- c) Os números negativos são também números inteiros.
- d) Os números dentro dos conjuntos reais são formados pela junção de números irracionais e números racionais.
- e) Os conjuntos numéricos racionais, como as dízimas periódicas, se enquadram dentro dos números reais.
Resp: C
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