Descubra as principais características das figuras geométricas denominadas Prismas e saiba como elas podem cair no seu vestibular!
Dados um polígono convexo ABCD...MN situado num plano α e um segmento de reta PQ, tal que sua reta suporte intercepta o plano α, denominamos prisma (convexo) a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ com uma extremidade nos pontos do polígono dado.
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Prisma - Definição.[/caption]
Elementos
O Prisma possui 2 bases congruentes, n faces laterais - paralelogramos -, n arestas laterais, n + 2 faces, 3n arestas, 3n diedros, 2n vértices e 2n triedros.
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Prisma Hexagonal[/caption]
Altura de um Prisma
A altura de um prisma é a distância h entre os planos das bases. É válida a relação de Euler para os prismas, note:V - A + F = 2 ⇒ 2n - 3n + (n + 2) = - n + n + 2 = 2.
Secções
Secção de um prisma é a interseção dele com um plano que intercepta todas as suas arestas laterais, isto é, um polígono com vértices em cada uma das arestas laterais. Quando a secção é reta ou normal, quer dizer que o plano é perpendicular às arestas laterais.
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Secção Normal.[/caption]
Superfícies
Superfície lateral é a união de todas as faces laterais. A área desta superfície é chamada de área lateral e é igual à soma das áreas de todas as faces, representada por Al. Superfície total é a reunião da superfície lateral com as bases. A área desta superfície é chamada de área total e é igual à soma das áreas das bases com Al, representada por At.
Classificação e Natureza dos Prismas
Um prisma será reto se suas arestas laterais forem perpendiculares aos planos das bases e, consequentemente, suas faces laterais forem retângulos. Se o prisma for reto e suas bases forem polígonos regulares, diremos que ele é um prisma regular. E o prisma será oblíquo quando suas arestas forem oblíquas aos planos das bases.
Um prisma será triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, etc., conforme a sua base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, um hexágono, etc.
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Classificação dos Prismas.[/caption]
Paralelepípedos e Romboedros
i) Paralelepípedo é um prisma cuja as bases são paralelogramos. Sua superfície total é a união de seis paralelogram0s.
ii) Paralelepípedo reto é aquele cuja as bases são paralelogramos e as faces laterais são retângulos. Sua superfície total é a reunião de dois paralelogramos e quatro retângulos.
iii) Paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro é um prisma reto de bases retangulares. Sua superfície total é a união de seis retângulos.
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Paralelepípedos.[/caption]
iv) Cubo é um ortoedro cujas as arestas são congruentes.
v) Romboedro é um paralelepípedo que possui doze arestas congruentes entre si e a reunião de seis losangos como superfície total.
vi) Romboedro reto é aquele que têm quadrados como faces laterais e sua superfície é dada pela união de dois losangos e quatro quadrados.
vii) Romboedro reto-retângulo ou cubo é um romboedro reto de bases quadradas, sua superfície total é dada pela reunião de seis quadrados.
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Romboedros.[/caption]
Diagonal, Área Total e Volume do Cubo
Dado um cubo de aresta a, sua diagonal d vale a√3, sua área total S vale 6a² e seu volume vale a³. [caption id="attachment_66723" align="aligncenter" width="376"]
Diagonal e Área Total do Cubo.[/caption]
Diagonal, Área Total e Volume do Ortoedro
Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, as diagonais das faces valem f1 = √(a² + b²), f2 = √(a² + c²) e f3 = √ (b² + c²), a diagonal do ortoedro vale d = √(a² + b² + c²), sua área total S = 2.(ab + ac + bc) e seu volume é dado pela expressão V = a.b.c.
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Diagonal e Área Total do Ortoedro.[/caption]
Volume d0 Prisma
O volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura, isto é, pelo produto da área da secção reta pela medida da aresta lateral. [caption id="attachment_66725" align="aligncenter" width="318"]
Volume do Prisma.[/caption]
Princípio de Cavalieri
"Dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado plano, determina superfíceis de áreas iguais (superfícies equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes)."
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Princípio de Cavalieri.[/caption]
Fontes de Pesquisa:
Dolce, Osvaldo e Pompeo, José Nicolau; Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 10 Sexta Edição, São Paulo: Atual, 2005.
Exercícios
1. (Ita) As dimensões x, y, z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 694cm², então o volume deste paralelepípedo, em cm³, é igual:
a) 1.200 b) 936 c) 1.155 d) 728 e) 834
2. (Ufpe) Dois cubos C1 e C2 são tais que a aresta de C1 é igual à diagonal de C2. Se V1 e V2‚ são, respectivamente, os volumes dos cubos de C1 e C2, então, a razão V1/V2‚ é igual a:
a) ³√3 b) √27 c) 1/√27 d) 1/³√3 e) ³√9VEJA COMO RESOLVER PASSO-A-PASSO ESTA QUESTÃO!
GABARITO
1. C
2. B
