A Trigonometria é um dos assuntos mais controversos dentro da matemática. Algumas questões são bem simples e os alunos, geralmente, as adoram.
O problema é que o negócio pode complicar e há exercícios que são muito difíceis. Então, temos que nos preparar para essas dificuldades, já que o ENEM vem nos surpreendendo a cada ano.
Nesse sentido, fizemos este artigo para que você possa entender um pouco mais sobre o ciclo trigonométrico, ferramenta essencial da trigonometria.
Ele é tão importante que, se você entender o seu funcionamento, já é mais do que meio caminho andado.
Além disso, o ENEM adora ciclo trigonométrico e todo ano há, pelo menos, uma questão sobre o assunto. Preparados? Vamos lá!
O que é o ciclo trigonométrico
O ciclo trigonométrico é uma circunferência de centro (0, 0) e raio r = 1 no plano cartesiano:
Já deu para notar que esse plano cartesiano é um pouco diferente, né?
O eixo x, nesse caso, é o eixo dos cossenos. Já o eixo y é o eixo do senos. Tá, mas como a gente usa isso tudo?
Nesta circunferência, podemos marcar os ângulos que quisermos.
O ponto de partida é o ponto (1, 0) e convencionou-se como sentido positivo dos arcos o sentido anti-horário. Por exemplo, se quisermos marcar o arco de 60°, temos o seguinte:
Outra coisa importante é que o ciclo está dividido em quatro quadrantes:
- O primeiro quadrante possui os ângulos 0 < a < 90º.
- O segundo quadrante possui os ângulos 90º < a < 180º.
- O terceiro quadrante possui os ângulos 180º < a < 270º.
- O quarto quadrante possui os ângulos 270º < a < 360º.
Então, por exemplo, 85° é um ângulo do primeiro quadrante, ao passo que 232° é do terceiro.
A parte mais legal do ciclo trigonométrico é que as coordenadas do ponto que representa esse ângulo são justamente o cosseno e o seno desse ângulo. Olha só!
Cosseno do ciclo trigonométrico
Vimos anteriormente que o eixo x, nesse caso, é o eixo dos cossenos.
Tá, mas o que isso quer dizer? Quer que, a projeção de um ponto no eixo dos cossenos, nos dará o valor do cosseno do ângulo representado por esse ponto.
Explica melhor? Claro, com imagens!
Na figura, o ponto A representa o ângulo de 60°, certo? Então, a coordenada x desse ponto é justamente o valor do cosseno de 60°. Assim, podemos dizer que aquele segmento em vermelho é o cosseno de 60° e vale 1/2, como bem sabemos.
Seno do ciclo trigonométrico
O que vimos no tópico anterior funciona para o eixo y, também.
Como ele é o eixo dos senos, então, a coordenada y do ponto A é nada mais nada menos do que o seno do ângulo de 60°!
Isso funciona para qualquer ângulo! Agora, fica fácil de ver que o segmento em azul mede o seno de 60°, que é √3/2.
Observe que, como o raio do ciclo é 1, – 1 ≤ sena ≤ 1 e – 1 ≤ cosa ≤ 1. Ou seja, não importa qual seja o ângulo, sabemos que seu seno e cosseno estarão entre – 1 e 1. Poraqui, você pode ver melhor a relação de seno e cosseno no ciclo trigonométrico.
Para fechar essa parte, falta falar da tangente!
Tangente do ciclo trigonométrico
O eixo das tangentes é um pouco diferente. Ele é uma reta perpendicular ao eixo dos senos pelo ponto (1, 0). Veja a imagem abaixo:
Se quisermos calcular a tangente de um ângulo qualquer, basta prolongar a reta que passa pela origem e pelo ponto que representa o ângulo até que ela toque o eixo das tangentes:
Por fim, podemos acrescentar mais uma linha colorida: a tangente de 60°.
E é isso! Essas são as três principais linhas trigonométricas no ciclo.
O que é importante ressaltar são os sinais no ciclo trigonométrico.
Sinais no ciclo trigonométrico
O ponto de origem, (0, 0), continua sendo de extrema importância para nós.
Se estamos no eixo dos cossenos, à esquerda da origem seus valores são negativos e, à direita, positivo. Já no caso do eixo dos senos e da tangente, para pontos acima da origem, temos valores positivos. Para pontos abaixo da origem, valores negativos.
Assim, podemos montar a seguinte tabela de sinais:
Ou seja, para ângulos do primeiro quadrante, seu seno, cosseno e tangente são positivos.
Agora, para ângulos do terceiro quadrante, por exemplo, seu seno e cosseno são negativos, ao passo que sua tangente é positiva.
Percebemos que o sinal do seno, cosseno e tangente de um ângulo mudam de acordo com o quadrante em que o ângulo se encontra.
Um outro ponto super importante! Podemos montar uma tabela com os valores de seno e cosseno de ângulos notáveis:
Relações importantes:
Analisando o ciclo, podemos deduzir algumas relações:
Esperamos que tenha ficado um pouco mais claro para vocês!
Não esqueçam que o ciclo trigonométrico é um ente da trigonometria usado para diversas coisas. É fundamental saber suas propriedades e funcionalidades. Até a próxima!
Gostou do conteúdo? Conheça o cursinho pré-enem da Descomplica e mergulhe em um aprendizado dinâmico que vai te preparar para fazer a melhor prova da sua vida!
