• Aumentar Fonte
  • Diminuir Fonte
  • Trocar contraste

Análise combinatória e Probabilidade para o Enem

Você já imaginou por que a análise combinatória é tão importante no Enem? Se você respondeu que é porque esse tópico cai bastante no Enem, você acertou! A análise combinatória, junto com probabilidade, compõem, em média, cerca de 11% do Enem. 

Ou seja, de 45 questões da área de matemática e suas tecnologias, cerca de 5 questões são sobre esses assuntos!

Kit Fórmulas de Matemática para o Enem.

O que é Análise Combinatória?

Na matemática, a análise combinatória nos ajuda com os problemas que envolvem contagem. Num geral, consiste na análise de possibilidades. É possível resolver qualquer problema envolvendo contagem analisando minuciosamente o que se pede e efetuando cálculos com operações básicas.

Mas quando esses problemas envolvem grandes quantidades e restrições específicas, esses cálculos podem se tornar muito longos, trabalhosos e confusos.  Para facilitar essa contagem, temos fórmulas específicas separadas por tipo de análise que desejarmos fazer.

Tipos de contagem

1. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Essa técnica básica de contagem visa calcular o número de possibilidades de ocorrência de um evento E, composto por uma série de sub-eventos independentes: E1, E2, E3… 

Na composição do evento E, escolhe-se apenas umas das possibilidades de cada um de seus sub-eventos. Representamos os totais de possibilidades pelas quais os eventos podem ocorrer por:

  • n(E): número de possibilidades do evento E
  • n(E1): número de possibilidades do evento E1

Podemos enunciar que o número de possibilidades de ocorrência do evento E é dado por:

2. Permutação

Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação dos n elementos, todas as diferentes sequências desses elementos. Sendo assim, usaremos as fórmulas de permutação quando quisermos diferentes configurações para uma mesma quantidade de elementos.

3. Permutação simples 

Quando não há repetição de elementos em um conjunto, calculamos o número das permutações desses conjuntos pela fórmula abaixo:

4. Permutação com elementos repetidos

Quando há repetição de elementos em um conjunto, consideramos que: se temos n elementos dos quais é igual a , é igual a , … , é igual a , o número de permutações possíveis é dado por:

5. Arranjo

Quando queremos agrupar de formas distintas elementos de um outro conjunto e, esses agrupamentos se diferenciam de acordo com a ordem dos elementos, então usamos o arranjo. 

Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados p a p, a qualquer sequência ordenada de p elementos distintos escolhidos entre os n existentes.

6. Combinação

Quando queremos agrupar de formas distintas elementos de um outro conjunto e, esses agrupamentos não se diferenciam de acordo com a ordem dos elementos, então usamos a combinação. O número de combinações de n elementos tomados p a p em que a ordem não importa é dado pela fórmula:

O que é Probabilidade?

No dia a dia, tomamos muitas decisões baseadas em probabilidades como, por exemplo, colocar ou não o guarda-chuva na bolsa, escolher qual ônibus usar para chegar no destino em um horário desejado ou, até mesmo, qual alternativa chutar para ter mais chances de acertar uma questão.

Mas a importância da probabilidade vai para muito além dessas decisões cotidianas! Com o cálculo, é possível obter estimativas desportivas, políticas e, até mesmo, sociais. O estudo das probabilidades nos permite calcular as chances reais de que algum evento aconteça.

Definição

A probabilidade de um evento constituído por um certo número de elementos é a soma das probabilidades dos resultados individuais que constituem o evento A.

Sendo p a probabilidade, temos que 0 < p < 1. .

  1. União, Interseção e Probabilidade Condicional

Probabilidade da união de dois eventos:

Sejam A e B dois eventos; então A ∪ B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrem. Dizemos que A ∪ B é a união entre o evento A e o evento B. E calculamos, assim:

Eventos independentes

Sejam A e B dois eventos; então A ∩ B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente.

Dizemos que A ∩ B  é a intersecção entre o evento A e o evento B. Em particular, se A ∩ B = ∅. A e B são chamados mutuamente exclusivos. Se A e B forem eventos independentes, temos:

Probabilidade condicional

Seja Ω um espaço amostral e consideremos dois eventos A e B. Com o símbolo P(A|B) indicamos a probabilidade do evento A, dado que o evento B ocorreu.

Isto é, P(A|B) é a probabilidade condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido. Quando calculamos P(A|B) tudo se passa como se B fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual, queremos calcular a probabilidade de A. 

A probabilidade condicional é denotada como . A fórmula é: 

Exercícios resolvidos de Probabilidade Condicional

Curiosidade sobre Probabilidade

Existe um problema matemático conhecido como Problema de Monty Hall que surgiu a partir de um jogo em um programa de televisão dos EUA  chamado Let’s Make a Deal. 

O apresentador mostra ao concorrente 3 portas: atrás de uma delas existe um prêmio e atrás das outras duas existe um bode. O apresentador pede ao concorrente que ele escolha uma porta. 

Em seguida, o apresentador abre uma das portas não escolhidas pelo concorrente, sabendo que atrás dela tem um bode, e mostra ao concorrente que aquela porta era a porta errada. Então ele pergunta para o concorrente se ele quer ou não trocar a escolha inicial dele. 

O problema matemático questiona se é ou não do interesse do concorrente trocar de porta, uma vez que ele queira ganhar o prêmio. 

Baseado no estudo de probabilidades, o que você faria se quisesse ganhar o prêmio? Trocaria de porta?

No filme Quebrando a Banca (2008), em uma cena, um professor apresenta esse problema para uma turma e um aluno o resolve da forma correta.

E aí, como você se sairia nesse game? Faça o seu resumo e continue treinando! Até uma próxima dica. 💚