Leia o resumo “O que são poliedros?” e resolva os exercícios abaixo.
1. (UF – PI) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de faces em 18. O número de vértices desse poliedro é:
a) 10
b) 20
c) 24
d) 30
e) 32
2. (Fuvest – SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui:
a) 33 vértices e 22 arestas.
b) 12 vértices e 11 arestas.
c) 22 vértices e 11 arestas.
d) 11 vértices e 22 arestas.
e) 12 vértices e 22 arestas.
3. (PUCAMP – SP) Sobre as sentenças:
I. Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.
II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.
III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.
É correto afirmar que apenas:
a) I é verdadeira.
b) II é verdadeira.
c) III é verdadeira.
d) I e III são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.
4. (U.F. Santa Maria – RS) Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de faces pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais é, em radianos, igual a:
a) 3π
b) 12π
c) 36π
d) 64π
e) 108π
5. (U.F. – RS) Um poliedro convexo tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente:
a) 34 e 10
b) 19 e 10
c) 34 e 20
d) 12 e 10
e) 19 e 12
Gabarito
1. B
Solução Passo-a-Passo:
Primeiro Passo: Reconhecer a relação entre o número de arestas e de faces. A = F + 18.
Segundo Passo: Resolver a resolver a relação de Euler e descobrir a quantidade de vértices desse poliedro.
V + F – A = 2 ⇒ V + F – (F + 18) = 2 ⇒ V + F – F – 18 = 2 ⇒ V – 18 = 2 ⇒ V = 2 + 18 ⇒ V = 20.
2. E
Solução Passo-a-Passo:
Primeiro Passo: Saber que como temos 11 faces triangulares, juntando a base, teremos 12 faces no total e que também teremos 12 vértices.
Segundo Passo: Devemos substituir o valor das faces e dos vértices na relação de Euler e descobrir o número de arestas.
V + F – A = 2 ⇒ 12 + 12 – A = 2 ⇒ 24 – A = 2 ⇒A = 24 – 2 ⇒ A = 22.
3. E
Solução Passo-a-Passo:
Primeiro Passo: Saber que todos os poliedros regulares são poliedros de Platão.
Segundo Passo: Voltar no Resumo e checar a tabela dos Poliedros de Platão e perceber que a única alternativa falsa é a I, pois o octaedro regular tem sim 8 fases, mas triangulares e não quadradas.
4. E
Solução Passo-a-Passo:
Primeiro Passo: Sendo p o número de faces pentagonais, reconhecer que A = 3p e F = 12 + p. Como cada aresta é compartilhada por dois polígonos, sabemos que 5p + 3.12 = 2A. Então:
5p + 36 = 2.3p ⇒ 5p + 36 = 6p ⇒ 6p – 5p = 36 ⇒ p = 36.
Segundo Passo: Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono é dada por 180°.(n-2) que é o mesmo que π.(n-2). Como estamos falando de 36 pentágonos, teremos a soma total dos ângulos internos igual a:
36. π.(5-2) = 36.π.3 = 108π.
5. B
Solução Passo-a-Passo:
Primeiro Passo: Lembrar que os polígonos convexos possuem uma mesma aresta compartilhada por dois polígonos, portanto, sendo t o número de faces triangulares e q o número de faces quadrangulares, 2A = 3t + 4q. Logo:
2A = 3t + 4q ⇒ 2A = 3.6 + 4. 5 ⇒ 2A = 18 + 20 ⇒ 2A = 38 ⇒ A = 19.
Segundo Passo: Sabendo o número de faces e de arestas, através da relação de Euler, descobrir a quantidade de vértices.
V – A + F = 2 ⇒ V – 19 + 11 = 2 ⇒ V – 8 = 2 ⇒ V = 2 + 8 ⇒ V = 10.
