A Trigonometria é o ramo da Matemática responsável por estudar a relação existente entre os ângulos e os lados de um triângulo. Vamos começar estudando as razões trigonométricas no triângulo retângulo tendo em vista que os conceitos iniciais de geometria plana estão bem consolidados.
Relembrando Pitágoras
Um triângulo retângulo é caracterizado por ter um ângulo reto, ou seja, com medida de 90°. O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa e os demais, catetos. O Teorema de Pitágoras já estudado e comprovado na aula de Relações Métricas no Triângulo Retângulo relaciona a hipotenusa aos catetos da seguinte maneira: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Razões Trigonométricas
Dado um ângulo b agudo, vamos marcar sobre um de seus lados os pontos B1, B2, B3, B4,.. e vamos traçar por eles perpendiculares B1B1′, B2B2′, B3B3′, B4B4’… (como podemos ver na figura abaixo).
Os triângulos BB1B1′, BB2B2′, BB3B3′, etc. são todos semelhantes entre si pois possuem os três ângulos internos iguais. Assim, podemos observar que fixado o ângulo b:
i) o cateto oposto a b e a hipotenusa são diretamente proporcionais:
ii) o cateto adjacente a b e a hipotenusa são diretamente proporcionais:
iii) os catetos oposto e adjacente são diretamente proporcionais:
iv) os catetos adjacente e oposto são diretamente proporcionais:
Nomeando as Razões Trigonométricas
Considerando o triângulo retângulo BB1B1′ acima, temos que:
i) Seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto a ele e a hipotenusa:
ii) Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a ele e a hipotenusa:
iii) Tangente de um ângulo agudo é a razão entre os catetos oposto e adjacente a ele:
iv) Cotangente de um ângulo agudo é a razão entre os catetos adjacente e oposto a ele:
Relações entre seno, cosseno, tangente e cotangente
i) Relação fundamental:
De acordo com o teorema de Pitágoras, temos:
^2=c^2\Rightarrow&space;c^2.sen^2\alpha+c^2.cos^2\alpha=c^2\Rightarrow&space;c^2.(sen^2\alpha+cos^2\alpha)=c^2.&space;:&space;Portanto,&space;:&space;sen^2\alpha+cos^2\alpha=1. "a^2+b^2=c^2\Rightarrow (c.sen:\alpha)^2+(c.cos:\alpha)^2=c^2\Rightarrow c^2.sen^2\alpha+c^2.cos^2\alpha=c^2\Rightarrow c^2.(sen^2\alpha+cos^2\alpha)=c^2. : Portanto, : sen^2\alpha+cos^2\alpha=1.")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=a^2+b^2=c^2\Rightarrow&space;(c.sen\:\alpha)^2+(c.cos\:\alpha)^2=c^2\Rightarrow&space;c^2.sen^2\alpha+c^2.cos^2\alpha=c^2\Rightarrow&space;c^2.(sen^2\alpha+cos^2\alpha)=c^2.&space;\:&space;Portanto,&space;\:&space;sen^2\alpha+cos^2\alpha=1.)
ii) Razão entre seno e cosseno:
iii) Razão entre cosseno e seno:
iv) Relação entre tangente e cotangente:
^{-1}=\frac{cos:\alpha}{sen:\alpha}=cotg:\alpha.")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\inline&space;tg\:\alpha=\frac{sen\:\alpha}{cos\:\alpha},&space;\:cotg&space;\:&space;\alpha&space;=&space;\frac{cos\:\alpha}{sen\:\alpha}\Rightarrow&space;\frac{1}{tg\:\alpha}=\frac{1}{\frac{sen\:\alpha}{cos\:\alpha}}=1.\frac{cos\:\alpha}{sen\:\alpha}.&space;\:&space;Portanto,&space;\:&space;(tg\:\alpha)^{-1}=&space;\frac{cos\:\alpha}{sen\:\alpha}=cotg\:\alpha.)
Seno, cosseno, tangente e cotangente de ângulos complementares
i)
ii)
iii)
iv)
Razões Trigonométricas Especiais
São as razões do triângulo retângulo isósceles, de ângulos 45°, 45° e 90°. E as do triângulo egípcio – metade do triângulo equilátero -, de ângulos 30°, 60° e 90°. Todas estão resumidas na tabela abaixo:
Fontes de Pesquisa:
Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 3; Iezzi, Gelson.
Oitava Edição – São Paulo: Atual, 2004.
Exercícios:
1. (U. F. Viçosa – MG) Na figura abaixo, os triângulos são retângulos, com hipotenusa comum AC, sendo ABC um triângulo isósceles com catetos medindo 4 cm.
Se o cateto AD do triângulo ADC mede 2 cm, então o valor de tg x é:
a)
b)
c)
d)
e)
2. (Cesgranrio – RJ) Na figura abaixo, os pontos B e C pertencem à reta r e os segmentos AB e CD são paralelos. Sabe-se ainda que a distância entre os pontos B e C é igualà metade da distância entre A e D, e a medida do ângulo ACD é 45°.
O ângulo CAD mede:
a) 115°
b) 105°
c) 100°
d) 90°
e) 75°
3. (U.F. Ouro Preto – MG) Um observador vê um prédio segundo um ângulo α. Após caminhar uma distância d em direção ao prédio, ele passa a vê-lo segundo um ângulo β.
Podemos afirmar que a altura h do prédio é:
a)
b)
c)
GABARITO
1. E
2. B
3. A
