O que é Função Quadrática?

Descubra o que é função quadrática com um resumo que vai te desvendar todos os conceitos sobre o tema! Prepare-se para o ENEM e vestibulares!

Função quadrática ou função do segundo grau é uma aplicação F de

 → 
que associa a cada x o elemento (ax² + bx + c) ∈

, em que a, b e c são números reais dados e a ≠ 0. Pois se a = 0, não teremos mais uma função quadrática e sim uma função afim: y = bx +c.

Relembrando: O que é função?

Sendo A e B conjuntos não vazios, uma relação F de A → B (lê-se A em B) é denominada aplicação de A – domínio, conjunto de partida – em B – contradomínio, conjunto de chegada –, ou função definida em A com imagens em B se para todo x ∈ A existe um só y ∈ B, tal que (x,y) ∈ F.

Exemplos de funções quadráticas:

  • 2x² + 5x + 7, em que a = 2, b = 5 e c = 7.
  • -x², em que a = -1 e b = c = 0.
  • x² + x + 1, em que a = b = c = 1.
  • 6x² + 5, em que a = 6, b = 0 e c = 5.

Gráfico da Função Quadrática

O gráfico da função quadrática é uma parábola (isso será provado em Geometria Analítica):

Concavidade

A parábola representativa da função quadrática pode ter sua concavidade voltada para cima ou para baixo. Isso dependerá do sinal de a:

  • Se a > 0, a concavidade será voltada para cima.
  • Se a < 0, a concavidade será voltada para baixo.

Forma Canônica

A construção do gráfico da função quadrática através de uma tabela de valores de x e de y nem sempre é precisa, pois pode acontecer que em certa função o valor da abscissa (valor de x) ou da ordenada (valor de y) não seja inteiro.

Para iniciarmos um estudo mais detalhado da função, vamos transformá-la em outra forma mais adequada, chamada forma canônica.

*

=ax^{2}+bx+cx : \rightarrow")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=f(x)=ax^{2}+bx+cx&space;\:&space;\rightarrow)  Colocamos a em evidência: *

\rightarrow "f(x)=a.\left (x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )\rightarrow")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=f(x)=a.\left&space;(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&space;\right&space;)\rightarrow)   Adicionamos e subtraímos  

: *

+\frac{ab^{2}}{4a^{2}}-\frac{ab^{2}}{4a^{2}}\rightarrow "f(x)=a.\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )+\frac{ab^{2}}{4a^{2}}-\frac{ab^{2}}{4a^{2}}\rightarrow")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=f(x)=a.\left&space;(&space;x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&space;\right&space;)+\frac{ab^{2}}{4a^{2}}-\frac{ab^{2}}{4a^{2}}\rightarrow)  Colocamos novamente a em evidência: *

+a\left&space;(\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}&space;\right&space;)=a.\left&space;(&space;x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}&space;\right&space;) "f(x)=a.\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )+a\left (\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right )=a.\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right )")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=f(x)=a.\left&space;(&space;x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&space;\right&space;)+a\left&space;(\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}&space;\right&space;)=a.\left&space;(&space;x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}&space;\right&space;))

=a.\left&space;[\left&space;(&space;x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}&space;\right)-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a}&space;\right&space;]=a.\left&space;[\left&space;(x^{2}+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}&space;\right&space;)-\left(\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}&space;\right&space;)\right])

-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a}&space;\right&space;]=a.\left&space;[\left&space;(x^{2}+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}&space;\right&space;)-\left(\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}&space;\right&space;)\right] "f(x)==a.\left [\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right)-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a} \right ]=a.\left \left (x^{2}+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2} \right )-\left(\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a} \right )\right]")=a.\left&space;[\left&space;(&space;x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}&space;\right)-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a}&space;\right&space;]=a.\left&space;[\left&space;(x^{2}+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}&space;\right&space;)-\left(\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}&space;\right&space;)\right])

^{2}-\left(\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right&space;)\right]=a.\left&space;[\left&space;(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{\Delta&space;}{4a^{2}}\right&space;)\right] "f(x)=a.\left [\left (x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right )\right]=a.\left \left (x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{\Delta }{4a^{2}}\right )\right]")=a.\left&space;[\left&space;(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right&space;)\right]=a.\left&space;[\left&space;(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{\Delta&space;}{4a^{2}}\right&space;)\right])

Portanto, a forma canônica da função quadrática é:

^{2}-\left(\frac{\Delta&space;}{4a^{2}}\right&space;)\right] "f(x)=a.\left \left (x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{\Delta }{4a^{2}}\right )\right]")=a.\left&space;[\left&space;(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{\Delta&space;}{4a^{2}}\right&space;)\right])

Zeros da Função Quadrática

Os zeros ou raízes da função são os valores de x para os quais

=ax^{2}+bx+c=0\rightarrow :")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=f(x)=ax^{2}+bx+c=0\rightarrow&space;\:)  Utilizando a forma canônica temos:

i)

^{2}-\left(\frac{\Delta}{4a^{2}}\right)\right]\Rightarrow&space;a=0 "f(x)=a.\left\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{\Delta}{4a^{2}}\right)\right]\Rightarrow a=0")=a.\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{\Delta}{4a^{2}}\right)\right]\Rightarrow&space;a=0)

\right]=0 "\left\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{\Delta}{4a^{2}}\right)\right]=0")^{2}-\left(\frac{\Delta}{4a^{2}}\right)\right]=0)

ii) Mas sabemos que

, então:

=0\Rightarrow&space;\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\left(\pm\frac{\sqrt{\Delta&space;}}{2a}\right)^{2}\Rightarrow&space;x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{\Delta&space;}}{2a}\Rightarrow&space;x=-\frac{b}{2a}\pm&space;\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} "\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{\Delta}{4a^{2}}\right)=0\Rightarrow \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\left(\pm\frac{\sqrt{\Delta }}{2a}\right)^{2}\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{\Delta}{4a^{2}}\right)=0\Rightarrow&space;\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\left(\pm\frac{\sqrt{\Delta&space;}}{2a}\right)^{2}\Rightarrow&space;x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{\Delta&space;}}{2a}\Rightarrow&space;x=-\frac{b}{2a}\pm&space;\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})

Portanto: 

Observemos que, para existir raízes reais na equação do segundo grau, precisamos que

seja real. Logo, temos três casos:

i)

  e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e distintas, que serão:

.

ii)

  e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e iguais, que serão:

.

iii)

 e sabemos que, neste caso,

 , portanto, diremos que a equação não apresentará raízes reais.

Interpretando geometricamente, os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x.

Máximo e Mínimo

Sendo

")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=Im(f)) o conjunto imagem, dizemos que
 para qualquer 

")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=D(f))  o conjunto domínio, é chamado de ponto de máximo da função.

Dizemos que

para qualquer

")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x_{M}\in&space;D(f)) é chamado de ponto de mínimo da função.

Sucintamente, podemos dizer que:

i) Se

, a função quadrática admite o valor máximo

.

ii) Se

, a função quadrática admite o valor mínimo

.

Vértice da Parábola

O ponto

")](https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}&space;\right&space;)) é chamado vértice da parábola.

Fontes de Pesquisa

Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 1; Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos.
Oitava Edição – São Paulo: Atual, 2004.

Exercícios

1. (ENEM – 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é:
a) V = 10.000 + 50x – x²
b) V = 10.000 + 50x + x²
c) V = 15.000 – 50x – x²
d) V = 15.000 + 50x – x²
e) V = 15.000 – 50x + x²

2. (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x)=-x²+12x+20, tem um valor:

a) mínimo igual a -16, para x = 6.
b) mínimo igual a 16, para x = -12.
c) máximo igual a 56, para x = 6.
d) máximo igual a 72, para x = 12.
e) máximo igual a 240, para x = 20.

3. (UFMG) Observe a figura.

Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é:
a) y = (x² /5) – 2x
b) y = x² – 10x
c) y = x² + 10x
d) y = (x²/5) – 10x
e) y = (x²/5) + 10x

GABARITO 

1. D

2. C

3. A

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