Geometria Analítica: 3 questões que mostram como cai no vestibular

Geometria Analítica pode cair no vestibular, sim!

1) Perímetro de um triângulo

Em muitas provas de vestibular, são cobrados triângulos, de uma forma que conhecemos seus pontos de vértices e devemos encontrar seu perímetro ou sua área. Mas, para isso, precisamos encontrar o tamanho de seus lados, que nada mais é do que a distância entre esses pontos de vértice.

Lembrando que a distância entre dois pontos é dada por:

Em que X1 e Y1, X2 e Y2 são as coordenadas dos pontos P1 e P2, respectivamente.

(UFPI) A medida do perímetro do triângulo cujos vértices são os pontos (1,1), (1,3) e (2,3) é:

a) 3 + √5      b) 3 + 2√5       c) 3 + 3√5      d) 3 + 4√5      e) 3 + 5√5

RESOLUÇÃO

Para encontrarmos esse perímetro, devemos apenas calcular a distância entre os vértices desse triângulo e somar esses valores. Assim, para o lado AB, temos:

AB² = (1 – 1)² + (1 – 3)²
AB² = 4
AB = 2

Para o lado AC, temos:
AC² = (1 – 2)² + (1 – 3)²
AC² = 1 + 4
AC = √5

Para o lado BC, temos:
BC² = ( 1 – 2 )² + ( 3 – 3 )²
BC² = 1
BC = 1

AB + AC + BC =
2 + √5 + 1 =
3 + √5

GABARITO: A

2) Distância de um vértice ao lado oposto

Novamente uma questão envolvendo triângulos. Usaremos conceitos parecidos com os anteriores neste exercício, porém, devemos tomar alguns cuidados. Veja:

(ESPM-SP) A figura abaixo representa uma praça de forma triangular, em que o ângulo A é reto.

Duas pessoas percorrem o contorno da praça a partir do ponto A, mas em sentidos contrários, até se encontrarem num ponto P do lado BC. Sabendo que elas percorrem distâncias iguais, podemos concluir que a distância do ponto P ao ponto A em linha reta é de, aproximadamente:

a) 22 m     b) 25 m      c) 27 m      d) 30 m     e) 32 m

RESOLUÇÃO

3) Equação da Reta

Outro tópico muito importante da Geometria Analítica é saber a equação de uma reta. Lembrando que podemos ter a equação da nossa reta de diferentes maneiras:

• A equação Geral da reta é dada por:

Em que A, B e C são números reais.

• A equação reduzida da reta é dada por:

Em que a e b são números reais, sendo a o coeficiente angular dessa reta.

• A equação segmentária da reta é dada por:

sendo p e q números reais.

(FGV – SP) Considere os pontos A(1,-2), B(-2,4) e C(3,3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem equação:

a) 2y – x – 3 = 0       b) y – 2x + 3 = 0       c) 2y + x + 3 = 0     d) y + 2x + 9 = 0     e) 2y + x – 9 = 0

RESOLUÇÃO

A equação de uma reta é dada por:

y = ax + b

Vamos descobrir a equação da reta que passa pelos pontos A e B resolvendo o sistema:
-2 = a + b
4 = -2a + b
-4 = 2a + 2b
3b = 0
b = 0
a = -2

Assim, o coeficiente angular dessa reta é:
m1 = -2

Para encontrarmos a equação da altura HC, de coeficiente angular m2 e que é perpendicular a AB temos:
coeficiente angular
m1*m2 = -1
-2*m2 = -1
m2 = 1/2

y = x/2 + b

Como o ponto C faz parte dessa reta, temos:
ponto C(3,3)
3 = 3/2 + b
6 = 3 + 2b
2b = 3
b = 3/2

Logo, a equação dessa reta é dada por:
y = (x + 3)/2

com equação geral:
2y – x – 3 = 0

GABARITO: A