Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.
Questão 146 da prova azul do segundo dia do Enem 2024
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Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
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Gabarito da questão
Opção B
Comentário da questão
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O objetivo é determinar a medida do maior lado (C) de um galinheiro retangular, maximizando a área (A), com um orçamento de R$6.000,00 para as telas. Os custos das telas são:
R$20,00/m para os lados de comprimento L,
R$15,00/m para os lados de comprimento C.
O custo total da tela é dado por:
Simplificando:
Dividindo por 10:
Da equação (2), isolamos C:
A área (A) do galinheiro é dada por:
Substituindo C, teremos:
Simplificando:
O valor de L que maximiza a área está no vértice da parábola e é dado pelo x do vértice.
Agora substituiremos C na equação para encontrar o comprimento C que maximiza a área.
Substituímos L = 75 na equação que encontramos anteriormente:
Com L = 75 mL e C = 100 , o maior lado do galinheiro é 100m.