A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P1, P2 e P3, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.
Para resolver essa questão, consideramos que o ponto HHH, onde será construído o hospital, é o centróide do triângulo equilátero P1, P2, P3. O centróide divide a altura do triângulo em uma proporção de 2:1, sendo 2/3 da altura entre o vértice e o centróide, e 1/3 entre o centróide e o lado oposto.
Altura do triângulo equilátero: A altura hhh de um triângulo equilátero com lado a = 10 km é calculada pela fórmula:
Substituindo a = 10:
Distância do centróide ao vértice: O ponto H divide a altura h na proporção 2:1. Assim, a distância do centróide ao vértice é:
Aproximação numérica: Usando √3 ≈ 1,73, temos:
A distância entre o hospital e cada um dos postos de saúde é aproximadamente 5,8 km, correspondendo à alternativa C (entre 5 e 6 km).