Questão 152 da prova azul do segundo dia do Enem 2021

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo  e estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por xy = x² + xy – y² e x * y = xy + x.

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma da duas maiores soluções da equação (ab)*(ba) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b=1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

Comentário da questão

Queremos saber a soma das duas maiores soluções da equação (ab)*(ba) = 0

Achando ab = a² + ab – b²  e  ba = b² + ab – a²

 

Então, (ab)*(ba) = 0 -> (ab)(ba)+ab

(a² + ab – b²)(b² + ab – a²) + a² + ab – b²

 

Como b = 1, substituindo

(a² + a – 1)(1 + a – a²) + (a² + a – 1) = 0

(a² + a – 1)(1 + a – a²+ 1) = 0  ->   (a² + a – 1)(a – a² + 2) = 0

 

Para esse produto ser igual a zero, então (a² + a – 1) = 0

Teremos que 

 

Separando na soma e na subtração:

Podemos observar que as duas maiores raízes são 2 e 

 

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Gabarito da questão

Opção D

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