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Questão 167

O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.

De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?

  1. 15
  2. 30
  3. 108
  4. 360
  5. 972

Comentário da questão

Sejam A, B, C, D, E e F as 6 regiões da logomarca, como mostrado na figura.
O número de colorações possíveis, com no máximo 4 cores, é 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 972;
com exatamente 3 cores é :
C (4,3) x 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 384
com exatamente 2 cores:
C(4,2) x 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 12
e, com uma cor, é impossível.
Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o número de maneiras de pintar usando todas as
cores é
972 − 384 + 12 = 600
Observação: no enunciado, caso o comitê resolvesse utilizar no máximo as quatro cores da bandeira nacional, a alternativa correta seria a E, 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 972.

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Gabarito da questão

Opção E

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Assunto

Análise Combinatória